2010年贵州省黔西南州兴义市天赋中学高考数学冲刺试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

复数等于（ ）
A．1-i
B．1+i
C．-1+i
D．-1-i

2. 难度：中等

已知随机变量ξ服从正态分布N（2，σ²），则P（ξ＜2）=（ ）
A．
B．
C．
D．

3. 难度：中等

已知的二项展开式的各项系数和为32，则二项展开式中x⁴的系数为（ ）
A．5
B．10
C．20
D．40

4. 难度：中等

把函数y=sinx x∈R 的图象上所有的点向左平移个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到的图象所表示的函数为（ ）
A． x∈R
B． x∈R
C． x∈R
D． x∈R

5. 难度：中等

已知，，若k为满足的整数，则使△ABC是直角三角形的k的个数为（ ）
A．7
B．4
C．3
D．2

6. 难度：中等

按ABO血型系统学说，每个人的血型为A、B、O、AB型四种之一，依血型遗传学，当且仅当父母中至少有一人的血型是AB型时，子女的血型一定不是O型，若某人的血型为O型，则其父母血型的所有可能情况有（ ）
A．12种
B．6种
C．10种
D．9种

7. 难度：中等

如图，O是半径为l的球心，点A、B、C在球面上，OA、OB、OC两两垂直，E、F分别是大圆弧AB与AC的中点，则点E、F在该球面上的球面距离是（ ）
A．
B．
C．
D．

8. 难度：中等

若关于x的方程lnx-x-a=0恰有两个不同的实根，则实数a的取值范围是（ ）
A．（-∞，-1]
B．（-∞，-1）
C．[-1，+∞）
D．（-1，+∞）

9. 难度：中等

如图，P是椭圆上的一点，F是椭圆的左焦点，且，则点P到该椭圆左准线的距离为（ ）

A．
B．
C．
D．10

10. 难度：中等

在Rt△ABC中，∠C=90°，那么sinAcos²（45°-）-sincos（ ）
A．有最大值和最小值为0
B．有最大值，但无最小值
C．既无最大值，也无最小值
D．有最大，但无最小值

11. 难度：中等

已知F₁、F₂分别是双曲线（a＞0，b＞0）的左、右焦点，P为双曲线上的一点，若∠F₁PF₂=90°，且△F₁PF₂的三边长成等差数列，则双曲线的离心率是（ ）
A．2
B．3
C．4
D．5

12. 难度：中等

已知，=a，且函数y=alnx++c在（1，e）上具有单调性，则b的取值范围是（ ）
A．（-∞，1]∪[e，+∞]
B．（-∞，0]∪[e，+∞]
C．（-∞，e]
D．[1，e]

二、解答题

13. 难度：中等

在等比数列{a_n}中，a₁=2，前n项和为S_n，若数列{a_n+λ}（λ≠0）也是等比数列，则S_n等于     ．

14. 难度：中等

抛物线y=x²+2x+3的焦点坐标是    ．

15. 难度：中等

已知长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AA₁=AB=2，若棱AB上存在点P使D₁P⊥PC，则棱AD的长的取值范围是    ．

16. 难度：中等

设x，y满足约束条件，若目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）的值是最大值为12，则的最小值为    ．

17. 难度：中等

已知函数f（x）=ax²e^x（其中a≠0）．求f（x）的极大值．

18. 难度：中等

如图，在四边形ABCD中，AD=8，CD=6，AB=13，∠ADC=90°，且．
（1）求sin∠BAC的值；
（2）求△ABD的面积．

19. 难度：中等

某单位举办2010年上海世博会知识宣传活动，进行现场抽奖．盒中装有9张大小相同的精美卡片，卡片上分别印有“世博会会徽”或“海宝”（世博会吉祥物）图案；抽奖规则是：参加者从盒中抽取卡片两张，若抽到两张都是“海宝”卡即可获奖，否则，均为不获奖．卡片用后放回盒子，下一位参加者继续重复进行．
（1）有三人参加抽奖，要使至少一人获奖的概率不低于，则“海宝”卡至少多少张？
（2）现有甲乙丙丁四人依次抽奖，用ξ表示获奖的人数，求ξ的分布列及Eξ的值．

20. 难度：中等

如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，侧面AA₁C₁C⊥底面ABC，AA₁=A₁C=AC=2，AB=BC，且AB⊥BC，O为AC中点．
（1）求直线A₁C与平面A₁AB所成角的正弦值；
（2）在BC₁上是否存在一点E，使得OE∥平面A₁AB，若不存在，说明理由；若存在，确定点E的位置．

21. 难度：中等

设S_n是正项数列{a_n的前n项和，且．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）是否存在等比数列{b_n}，使 a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n=（2n-1）•2ⁿ⁺¹+2 对一切正整数n都成立？并证明你的结论．
（3）设，且数列{C_n}的前n项和为T_n，试比较与的大小．

22. 难度：中等

已知p＞0，动点M到定点F的距离比M到定直线l：x=-p的距离小．
（I）求动点M的轨迹C的方程；
（Ⅱ）设A，B是轨迹C上异于原点O的两个不同点，，求△AOB面积的最小值；
（Ⅲ）在轨迹C上是否存在两点P，Q关于直线对称？若存在，求出直线m的方程，若不存在，说明理由．