2011年广东省汕头市高考数学一模试卷（文科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

若复数（a²-3a+2）+（a-1）i是纯虚数，则实数a的值为（ ）
A．1
B．2
C．1或2
D．-1

2. 难度：中等

设集合M={平面内的点（a，b）}，N={f（x）|f（x）=acos2x+bsin2x，x∈R}，给出从M到N的映射f：（a，b）→f（x）=acos2x+bsin2x，则点（1，）的象f（x）的最小正周期为（ ）
A．π
B．
C．
D．

3. 难度：中等

等差数列{a_n}中，已知a₅+a₇=10，S_n是数列{a_n}的前n项和，则S₁₁=（ ）
A．45
B．50
C．55
D．60

4. 难度：中等

一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的表面积为（ ）
A．72
B．66
C．60
D．30

5. 难度：中等

在边长为1的等边△ABC中，设=（ ）
A．
B．0
C．
D．3

6. 难度：中等

已知函数f（x）=x^a，g（x）=a^x，h（x）=log_ax（其中a＞0，a≠1）在同一坐标系中画出其中两个函数在第一象限内的图象，其中正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．

7. 难度：中等

某商场在国庆黄金周的促销活动中，对10月2日9时到14时的销售额进行统计，其频率分布直方图如图所示，已知9时至10时的销售额为2.5万元，则11时到12时的销售额为（ ）
A．6万元
B．8万元
C．10万元
D．12万元

8. 难度：中等

若m、n为两条不重合的直线，α、β为两个不重合的平面，则下列命题中的真命题个数是（ ）
①若m、n都平行于平面α，则m、n一定不是相交直线；
②若m、n都垂直于平面α，则m、n一定是平行直线；
③已知α、β互相垂直，m、n互相垂直，若m⊥α，则n⊥β；
④m、n在平面α内的射影互相垂直，则m、n互相垂直．
A．1
B．2
C．3
D．4

9. 难度：中等

在△ABC中，tanA是以-4为第3项，4为第7项的等差数列的公差；tanB是以为第3项，9为第6项的等比数列的公比，则该三角形为（ ）
A．锐角三角形
B．直角三角形
C．钝角三角形
D．等腰三角形

10. 难度：中等

定义在R上的函数f（x）满足f（4）=1．f'（x）为f（x）的导函数，已知函数y=f'（x）的图象如右图所示．若两正数a，b满足f（2a+b）＜1，则的取值范围是（ ）
A．
B．（）
C．（，3）
D．（3，+∞）

二、解答题

11. 难度：中等

高三（1）班共有56人，学号依次为1，2，3，┅，56，现用系统抽样的办法抽取一个容量为4的样本，已知学号为6，34，48的同学在样本中，那么还有一个同学的学号应为     ．

12. 难度：中等

已知向量=（x-1，2），=（4，y），若⊥，则9^x+3^y的最小值为    ．

13. 难度：中等

曲线y=x³+x在点（1，）处的切线与坐标轴围成的三角形面积为    ．

14. 难度：中等

观察以下等式：

可以推测1³+2³+3³+…+n³=    （用含有n的式子表示，其中n为自然数）．

15. 难度：中等

已知不等式（x-1）²≤a²，（a＞0）的解集为A，函数的定义域为B．
（Ⅰ）若A∩B=φ，求a的取值范围；
（Ⅱ）证明函数的图象关于原点对称．

16. 难度：中等

己知向量，函数．
（1）求f（x）的最小正周期和单调减区间；
（2）如果△ABC的三边a、b、c满足b²=ac，且边b所对的角为x，试求此时函数f（x）的值域．

17. 难度：中等

甲乙二人用4张扑克牌（分别是红桃2，红桃3，方片3，方片4）玩游戏，他们将扑克牌洗匀后，背面朝上放在桌面上，甲先抽，乙后抽，抽出的牌不放回，各抽一张．
（Ⅰ）写出甲乙二人抽到的牌的所有结果；（例如甲抽到红桃2，乙抽到方块3，可记作（红2，方3））
（Ⅱ）若甲抽到红桃3，则乙抽出的牌的牌面数字比3大的概率是多少？
（Ⅲ）甲乙约定：若甲抽到的牌的牌面数字比乙大，则甲胜；若乙抽到的牌的牌面数字比甲大，则乙胜，若甲、乙抽到的牌的牌面数字相同，则重新进行游戏；你认为此游戏是否公平，说明你的理由．

18. 难度：中等

如图，三角形ABC中，AC=BC=，ABED是边长为1的正方形，平面ABED⊥底面ABC，若G、F分别是EC、BD的中点．
（Ⅰ）求证：GF∥底面ABC；
（Ⅱ）求证：AC⊥平面EBC；
（Ⅲ）求几何体ADEBC的体积V．

19. 难度：中等

某电视生产厂家有A、B两种型号的电视机参加家电下乡活动．若厂家投放A、B型号电视机的价值分别为p、q万元，农民购买电视机获得的补贴分别为万元．已知厂家把总价值为10万元的A、B两种型号电视机投放电场，且A、B型号的电视机投放金额不低于1万元，请你制订一个投放方案，使得在这次活动中农民得到的补贴最多，并求出最大值（精确到0.1，参考数据：ln4=1.4）

20. 难度：中等

已知二次函数f（x）=ax²+bx的图象过点（-4n，0），且f'（0）=2n，n∈N^*．
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）若数列a_n满足，且a₁=4，求数列a_n的通项公式；
（Ⅲ）记，数列b_n的前n项和T_n，求证：．