2010-2011学年江苏省常州一中高三（下）期初数学试卷（解析版）

一、解答题

1. 难度：中等

设集合 ，N={x∈R|mx²+4mx-4≤0对于任意的实数m恒成立}，则 M∩N=    ．

2. 难度：中等

函数的单调递减区间是    ．

3. 难度：中等

若是纯虚数，则tanθ的值为    ．

4. 难度：中等

已知数据a，4，2，5，3的平均数为b，其中a，b是方程x²-4x+3=0的两个根，则这组数据的标准差是    ．

5. 难度：中等

已知关于x方程，其中、、是非零向量，且、不共线，则该方程实数解的个数为    个．

6. 难度：中等

已知，若，则△ABC为直角三角形的概率是    ．

7. 难度：中等

在算法流程图中，令a=sin2θ，b=cosθ，c=sinθ，若在集合中，给θ取一个值，输出的结果是b，则θ的值所在范围是    ．

8. 难度：中等

设平面α，β，直线a，b，集合A={与α垂直的平面}，B={与β垂直的平面}，M={与a垂直的直线}，N={与b垂直的直线}，给出下列命题：
①若A∩B≠∅，则α∥β；②若α∥β，则A=B；③若a，b为异面直线，则M∩N=∅；④若a，b相交，则M=N；
其中不正确的命题序号是    ．

9. 难度：中等

如图，已知F₁、F₂是椭圆（a＞b＞0）的左、右焦点，点P在椭圆C上，线段PF₂与圆x²+y²=b²相切于点Q，且点Q为线段PF₂的中点，则=    ；椭圆C的离心率为    ．

10. 难度：中等

如图，△ACD是等边三角形，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，BD交AC于E，AB=2，则AE=    ．

11. 难度：中等

已知圆O的半径为1，圆心为（2，3），P为x轴上的动点，PA，PB为该圆的两条切线，A，B为两切点，则的最小值为    ．

12. 难度：中等

已知函数f（x）=m^x+kn^x（0＜m≠1，0＜n≠1，mn=1，k∈R）为奇函数，且；若g（x）=m^2x+m^-2x-2af（x）上的最小值为-2，则a=    ．

13. 难度：中等

在平面直角坐标系中，定义d（P，Q）=|x₁-x₂|+|y₁-y₂|为两点P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）之间的“折线距离”．则圆x²+y²=1上一点与直线上一点的“折线距离”的最小值是    ．

14. 难度：中等

用α，β，γ三个字母组成一个长度为n+1（n∈N*）个字母的字符串，要求由α开始，相邻两个字母不同．例如n=1时，排出的字符串可能是αβ或αγ；n=2时排出的字符串可能是αβα，αβγ，αγα，αγβ（如图）．若记这种n+1个字符串中，排在最后一个的字母仍是α的所有字符串的种数为a_n，可知，a₁=0，a₂=2；则a₄=    ；数列{a_n}的前2n项之和a₁+a₂+a₃+…+a_2n=    ．

15. 难度：中等

在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，且：（a²+b²）sin（A-B）=（a²-b²）sinC
（1）若a=3，b=4，求的值．
（2）若∠C=60°，△ABC面积为．求的值．

16. 难度：中等

如图所示，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=BB₁，AC₁⊥平面A₁BD，D为AC的中点．
（1）求证：B₁C₁⊥平面ABB₁A₁；
（2）在CC₁上是否存在一点E，使得∠BA₁E=45°，若存在，试确定E的位置，并判断平面A₁BD与平面BDE是否垂直？若不存在，请说明理由．

17. 难度：中等

已知椭圆的中心在坐标原点，焦点F₁，F₂在x轴上，长轴A₁A₂的长为 ，左准线 l与x轴的交点为M，，P为椭圆C上的动点．
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）若P与 A₁，A₂均不重合，设直线 PA₁与 PA₂的斜率分别为k₁，k₂，证明：k₁•k₂为定值；
（Ⅲ）M为过P且垂直于x轴的直线上的点，若，求点M的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线．

18. 难度：中等

某地政府为科技兴市，欲将如图所示的一块不规则的非农业用地规划建成一个矩形的高科技工业园区．已知AB⊥BC，OA∥BC，且AB=BC=4km，AO=2km，曲线段OC是以点O为顶点且开口向上的抛物线的一段．如果要使矩形的相邻两边分别落在AB，BC上，且一个顶点落在曲线段OC上．问：应如何规划才能使矩形工业园区的用地面积最大？并求出最大的用地面积（精确到0.1km²）．

19. 难度：中等

设{a_n}是等差数列，其前n项的和为S_n．
（1）求证：数列为等差数列；
（2）设{a_n}各项为正数，a₁=，a₁≠a₂，若存在互异正整数m，n，p满足：①m+p=2n；②．求集合{（x，y）|S_x•S_y=1，x∈N^*，y∈N^*}的元素个数；
（3）设b_n=（a为常数，a＞0，a≠1，a₁≠a₂），数列{b_n}前n项和为T_n．对于正整数c，d，e，f，若c＜d＜e＜f，且c+f=d+e，试比较（T_c）^-1+（T_f）^-1与（T_d）^-1+（T_e）^-1的大小．

20. 难度：中等

已知函数f（x）=e^x，直线l的方程为y=kx+b．
（1）求过函数图象上的任一点P（t，f（t））的切线方程；
（2）若直线l是曲线y=f（x）的切线，求证：f（x）≥kx+b对任意x∈R成立；
（3）若f（x）≥kx+b对任意x∈[0，+∞）成立，求实数k、b应满足的条件．