2010年广东省深圳市高考数学一模试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

设a∈R，若（a-i）²i（i为虚数单位）为正实数，则a=（ ）
A．2
B．1
C．0
D．-1

2. 难度：中等

设集合M={x||x-1|＜2}，N={x|x（x-3）＜0}，那么“a∈M”是“a∈N”的（ ）
A．必要而不充分条件
B．充分而不必要条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件

3. 难度：中等

如图，一个简单组合体的正视图和侧视图都是由一个正方形与一个正三角形构成的相同的图形，俯视图是一个半径为的圆（包括圆心）．则该[组合体的表面积（各个面的面积的和）等于（ ）

A．15π
B．18π
C．21π
D．24π

4. 难度：中等

曲线y=sinx，y=cosx与直线x=0，所围成的平面区域的面积为（ ）
A．
B．
C．
D．

5. 难度：中等

已知函数f（x）=x+2^x，g（x）=x+lnx，的零点分别为x₁，x₂，x₃，则x₁，x₂，x₃的大小关系是（ ）
A．x₁＜x₂＜x₃
B．x₂＜x₁＜x₃
C．x₁＜x₃＜x₂
D．x₃＜x₂＜x₁

6. 难度：中等

若曲线C：x²+y²+2ax-4ay+5a²-4=0上所有的点均在第二象限内，则a的取值范围为（ ）
A．（-∞，-2）
B．（-∞，-1）
C．（1，+∞）
D．（2，+∞）

7. 难度：中等

已知三个正态分布密度函数（x∈R，i=1，2，3）的图象如图所示，则（ ）

A．μ₁＜μ₂=μ₃，σ₁=σ₂＞σ₃
B．μ₁＞μ₂=μ₃，σ₁=σ₂＜σ₃
C．μ₁=μ₂＜μ₃，σ₁＜σ₂=σ₃
D．μ₁＜μ₂=μ₃，σ₁=σ₂＜σ₃

8. 难度：中等

设a₁，a₂，…，a_n是1，2，…，n的一个排列，把排在a_i的左边且比a_i小的数的个数称为a_i的顺序数（i=1，2，…，n）．如在排列6，4，5，3，2，1中，5的顺序数为1，3的顺序数为0．则在由1、2、3、4、5、6、7、8这八个数字构成的全排列中，同时满足8的顺序数为2，7的顺序数为3，5的顺序数为3的不同排列的种数为（ ）
A．48
B．96
C．144
D．192

二、解答题

9. 难度：中等

设等差数列{a_n}的前n项和为S_n，若S₉=81，则a₂+a₅+a₈=    ．

10. 难度：中等

已知（1+2x）⁴=a+a₁x+a₂x²+a₃x³+a₄x⁴，则a₁-2a₂+3a₃-4a₄=    ．

11. 难度：中等

若双曲线的右焦点与抛物线y²=12x的焦点重合，则m=    ．

12. 难度：中等

若不等式对任意的实数x恒成立，则实数a的取值范围是     ．

13. 难度：中等

图中的程序框图所描述的算法称为欧几里得辗转相除法．若输入m=2010，n=1541，则输出m=    ．（注：框图中的赋值符号“=”也可以写成“←”或“：=”）

14. 难度：中等

在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为（参数t∈R），以直角坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立相应的极坐标系．在此极坐标系中，若圆C的极坐标方程为ρ=4cosθ，则圆心C到直线l的距离为    ．

15. 难度：中等

如图，已知PA是⊙O的切线，A是切点，直线PO交⊙O于B、C两点，D是OC的中点，连接AD并延长交⊙O于点E．若，∠APB=30°，则AE=    ．

16. 难度：中等

已知函数（其中ω为正常数，x∈R）的最小正周期为π．
（1）求ω的值；
（2）在△ABC中，若A＜B，且，求．

17. 难度：中等

如图，已知直角梯形ACDE所在的平面垂直于平面ABC，∠BAC=∠ACD=90°，∠EAC=60°，AB=AC=AE．
（1）在直线BC上是否存在一点P，使得DP∥平面EAB？请证明你的结论；
（2）求平面EBD与平面ABC所成的锐二面角θ的余弦值．

18. 难度：中等

已知f（x）是二次函数，f′（x）是它的导函数，且对任意的x∈R，f′（x）=f（x+1）+x²恒成立．
（1）求f（x）的解析表达式；
（2）设t＞0，曲线C：y=f（x）在点P（t，f（t））处的切线为l，l与坐标轴围成的三角形面积为S（t）．求S（t）的最小值．

19. 难度：中等

某投资公司在2010年年初准备将1000万元投资到“低碳”项目上，现有两个项目供选择：
项目一：新能源汽车．据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利30%，也可能亏损15%，且这两种情况发生的概率分别为和；
项目二：通信设备．据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利50%，可能亏损30%，也可能不赔不赚，且这三种情况发生的概率分别为、和．
（1）针对以上两个投资项目，请你为投资公司选择一个合理的项目，并说明理由；
（2）若市场预期不变，该投资公司按照你选择的项目长期投资（每一年的利润和本金继续用作投资），问大约在哪一年的年底总资产（利润+本金）可以翻一番？（参考数据：lg2=0.3010，lg3=0.4771）

20. 难度：中等

已知A、B分别是直线和上的两个动点，线段AB的长为，P是AB的中点．
（1）求动点P的轨迹C的方程；
（2）过点Q（1，0）作直线l（与x轴不垂直）与轨迹C交于M、N两点，与y轴交于点R．若，，证明：λ+μ为定值．

21. 难度：中等

在单调递增数列{a_n}中，a₁=1，a₂=2，且a_2n-1，a_2n，a_2n+1成等差数列，a_2n，a_2n+1，a_2n+2成等比数列，n=1，2，3，…．
（1）分别计算a₃，a₅和a₄，a₆的值；
（2）求数列{a_n}的通项公式（将a_n用n表示）；
（3）设数列的前n项和为S_n，证明：，n∈N^*．