2010年北京八中大兴分校高考数学模拟试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

设全集U=R，A={x|2^x（x-2）＜1}，B={x|y=ln（1-x）}，则图中阴影部分表示的集合为（ ）

A．{x|x≥1}
B．{x|0＜x≤1}
C．{x|1≤x＜2}
D．{x|x≤1}

2. 难度：中等

函数f（x）=sin²x的最小正周期为（ ）
A．π
B．2π
C．3π
D．4π

3. 难度：中等

中心在原点，焦点在x轴上的双曲线的实轴与虚轴相等，一个焦点到一条渐近线的距离为，则双曲线方程为（ ）
A．x²-y²=1
B．x²-y²=2
C．x²-y²=
D．x²-y²=

4. 难度：中等

在空间中，有如下命题：
①互相平行的两条直线在同一个平面内的射影必然是互相平行的两条直线；
②若平面α∥β，则平面α内任意一条直线m∥β；
③若平面α与平面β的交线为m，平面α内的直线n⊥直线m，则直线n⊥平面β；
④若平面α内的三点A、B、C到平面β的距离相等，则α∥β．
其中正确命题的个数为（ ）个．
A．0
B．1
C．2
D．3

5. 难度：中等

圆x²+（y+1）²=3绕直线kx-y-1=0旋转一周所得的几何体的体积为（ ）
A．36π
B．12π
C．4π
D．4π

6. 难度：中等

连续投掷两次骰子得到的点数分别为m、n，作向量a=（m，n）．则向量a与向量b=（1，-1）的夹角成为直角三角形内角的概率是（ ）
A．
B．
C．
D．

7. 难度：中等

定义运算：，将函数f（x）=的图象向左平移t（t＞0）个单位，所得图象对应的函数为偶函数，则t的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．

8. 难度：中等

下列结论：①命题“∀x∈R，x²-x＞0”的否定是“∃x∈R，x²-x≤0”；
②当x∈（1，+∞）时，函数的图象都在直线y=x的上方；
③定义在R上的奇函数f（x），满足f（x+2）=-f（x），则f（6）的值为0．
④若函数f（x）=mx²-2x在区间（2+∞）内是增函数，则实数m的取值范围为．
其中，正确结论的个数是（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4

二、解答题

9. 难度：中等

某曲线极坐标方程为p=8cosθ，则它的直角坐标方程为    ．

10. 难度：中等

在二项式（x²-）⁵的展开式中，含x⁴的项的系数是    ．

11. 难度：中等

执行下边的程序框图，若p=0.8，则输出的n=    ．

12. 难度：中等

已知定点A（3，4），点P为抛物线y²=4x上一动点，点P到直线x=-1的距离为d，则|PA|+d的最小值为    ．

13. 难度：中等

在0，1，2，3，4，5这六个数字所组成的没有重复数字的三位数中，其各个数字之和为9的三位数共有    个（用数字作答）．

14. 难度：中等

数列{a_n}满足，则a_n=    ．

15. 难度：中等

在△ABC中，已知，
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）若△ABC的面积为4，AB=2，求BC的长．

16. 难度：中等

设{a_n}是公比大于1的等比数列，S_n为数列{a_n}的前n项和．已知S₃=7，且a₁+3，3a₂，a₃+4构成等差数列．
（1）求数列{a_n}的通项公式．
（2）令b_n=lna_3n+1，n=1，2，…，求数列{b_n}的前n项和T_n．

17. 难度：中等

某工厂在试验阶段大量生产一种零件．这种零件有A、B两项技术指标需要检测，设各项技术指标达标与否互不影响．若A项技术指标达标的概率为，有且仅有一项技术指标达标的概率为．按质量检验规定：两项技术指标都达标的零件为合格品．
（Ⅰ）求一个零件经过检测为合格品的概率；
（Ⅱ）任意依次抽出5个零件进行检测，求其中至多3个零件是合格品的概率；
（Ⅲ）任意依次抽取该种零件4个，设ξ表示其中合格品的个数，求Eξ与Dξ．

18. 难度：中等

如图所示，AB为圆O的直径，点E、F在圆O上，AB∥EF，矩形ABCD所在平面和圆O所在的平面互相垂直．已知AB=2，EF=1
（1）求证：平面DAF⊥平面CBF；
（2）求直线AB与平面CBF所成角的大小；
（3）当AD的长为何值时，二面角D-FE-B的大小为60°？

19. 难度：中等

已知曲线C：y=x²与直线l：x-y+2=0交于两点A（x_A，y_A）和B（x_B，y_B），且x_A＜x_B．记曲线C在点A和点B之间那一段L与线段AB所围成的平面区域（含边界）为D．设点P（s，t）是L上的任一点，且点P与点A和点B均不重合．
（1）若点Q是线段AB的中点，试求线段PQ的中点M的轨迹方程；
（2）若曲线G：x²-2ax+y²-4y+a²+=0与D有公共点，试求a的最小值．

20. 难度：中等

已知 f（x）=ax-lnx，g（x）=，其中x∈（0，e]（e是自然常数），a∈R
（Ⅰ）当a=1时，求f（x）的单调性、极值；
（Ⅱ）求证：在（Ⅰ）的条件下，f（x）＞g（x）+；   
（Ⅲ）是否存在a∈R，使f（x）的最小值是3，若存在求出a的值，若不存在，说明理由．