2011年天津市南开大学附属中学高考数学模拟试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

i是虚数单位，=（ ）
A．
B．
C．
D．

2. 难度：中等

设集合S={x||x-2|＞3}，T={x|a＜x＜a+8}，S∪T=R，则a的取值范围是（ ）
A．-3＜a＜-1
B．-3≤a≤-1
C．a≤-3或a≥-1
D．a＜-3或a＞-1

3. 难度：中等

记的展开式中第k项的系数为a_k，若a₃=3a₂，则n=（ ）
A．4
B．5
C．6
D．7

4. 难度：中等

右面框图表示的程序所输出的结果是（ ）

A．1320
B．132
C．11880
D．121

5. 难度：中等

已知函数的最小正周期为π，为了得到函数g（x）=cosϖx的图象，只要将y=f（x）的图象（ ）
A．向左平移个单位长度
B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度
D．向右平移个单位长度

6. 难度：中等

函数f（x）=a²x²+ax-2在[-1，1]上有零点，则a的取值范围是（ ）
A．（-∞，-1）∪（1，+∞）
B．（-∞，-1]∪[1，+∞）
C．R
D．（-∞，-2]∪[2，+∞）

7. 难度：中等

已知抛物线y²=2px（p＞0）上一点M（1，m）（m＞0）到其焦点的距离为5，双曲线的左顶点为A，若双曲线的一条渐近线与直线AM平行，则实数a的值是（ ）
A．
B．
C．
D．

8. 难度：中等

已知函数，若f（x₁）+f（2x₂）=1，（其中x₁，x₂均大于2），则f（x₁x₂）的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．

二、解答题

9. 难度：中等

某赛季，甲乙两名篮球运动员都参加了11场比赛，他们每场比赛得分的情况用右图所示的茎叶图表示，若甲运动员的中位数为a，乙运动员的众数为b，则a-b=    ．

10. 难度：中等

如图，点B在⊙O上，M为直径AC上一点，BM的延长线交⊙O于N，∠BNA=45°，若⊙O的半径为2，OA=OM，则MN的长为    ．

11. 难度：中等

如图是一个几何体的三视图，其中正视图，侧视图是两个全等的菱形，边长为，俯视图是一个正方形，边长为2，那么这个几何体的体积为    ．

12. 难度：中等

若圆C与直线x-y=0和直线都相切，且直线x+y=0过圆心，则圆C的标准方程为    ．

13. 难度：中等

已知函数y=e^|lnx|-|x-1|，则满足f（1-x²）＞f（2x）的x的取值集合为    ．

14. 难度：中等

给出下列六个命题：
①
②若f'（x）=0，则函数y=f（x）在x=x取得极值；
③“”的否定是：“∀x∈R，均有e^x≥0”；
④已知点G是△ABC的重心，过G作直线与AB，AC两边分别交于M，N两点，且，，则；
⑤已知点到直线的距离为1；
⑥若|x+3|+|x-1|≤a²-3a，对任意的实数x恒成立，则实数a≤-1，或a≥4；
其中真命题是    （把你认为真命题序号都填在横线上）

15. 难度：中等

设函数f（x）=cos（x+π）+2，x∈R．
（1）求f（x）的值域；
（2）记△ABC内角A、B、C的对边长分别为a，b，c，若f（B）=1，b=1，c=，求a的值．

16. 难度：中等

甲乙两个亚运会主办场馆之间有7条网线并联，这7条网线能通过的信息量分别为1，1，2，2，2，3，3，现从中任选三条网线，设可通过的信息量为X，当可通过的信息量X≥6，则可保证信息通畅．
（Ⅰ）求线路信息通畅的概率；   
（Ⅱ）求线路可通过的信息量X的分布列；
（Ⅲ）求线路可通过的信息量X的数学期望．

17. 难度：中等

如图的多面体是底面为平行四边形的直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁，经平面AEFG所截后得到的图形．其中∠BAE=∠GAD=45°，AB=2AD=2，∠BAD=60°．
（1）求证：BD⊥平面ADG．
（2）求平面AEFG与平面ABCD所成锐二面角的余弦值．

18. 难度：中等

如图，已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在x轴上，它的一个顶点为A（0，），且离心率等于，过点M（0，2）的直线l与椭圆相交于P，Q不同两点，点N在线段PQ上．
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）设，试求λ的取值范围．

19. 难度：中等

已知函数．
（Ⅰ）若曲线y=f（x）在点P（1，f（1））处的切线与直线y=x+2垂直，求函数y=f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若对于∀x∈（0，+∞）都有f（x）＞2（a-1）成立，试求a的取值范围；
（Ⅲ）记g（x）=f（x）+x-b（b∈R）．当a=1时，函数g（x）在区间[e^-1，e]上有两个零点，求实数b的取值范围．

20. 难度：中等

已知y=f（x）定义在R上的单调函数，当x＜0时，f（x）＞1，且对任意的实数x、y∈R，有f（x+y）=f（x）•f（y）．设数列{a_n}满足a₁=f（0），且（n∈N^*）．
（Ⅰ）求通项公式a_n的表达式；
（Ⅱ）令，S_n=b₁+b₂+…+b_n，，试比较S_n与的大小，并加以证明．