2010-2011学年上海市十三校高三（下）第二次联考数学试卷（文科）（解析版）

一、解答题

1. 难度：中等

若复数z满足i•（3+z）=-1（其中i为虚数单位），则z=    ．

2. 难度：中等

在等差数列{a_n}中，已知a₃=4，a₉=10，则a₁₅=    ．

3. 难度：中等

已知函数f（x）=arcsinx的定义域为，则此函数的值域为    ．

4. 难度：中等

设a＞0且a≠1，若f（x）=a^x的反函数的图象经过点，则a=    ．

5. 难度：中等

有一组统计数据共10个，它们是：2、4、4、5、5、6、7、8、9、x，已知这组数据的平均数为6，则这组数据的方差为    ．

6. 难度：中等

某程序的框图如图所示，则执行该程序，输出的结果a=    ．

7. 难度：中等

已知实数x，y满足，则y-2x的最大值是    ．

8. 难度：中等

投掷两颗骰子，得到其向上的点数分别为m和n，则复数（m+ni）（n-mi）为实数的概率为    ．

9. 难度：中等

如图是一个几何体的三视图，则这个几何体的表面积是    ．

10. 难度：中等

在二项式的展开式中，各项系数之和为A，各项二项式系数之和为B，且A+B=72，则n=    ．

11. 难度：中等

已知集合，且2∈A，3∉A，则实数a的取值范围是    ．

12. 难度：中等

对于抛物线y²=4x上任意一点Q，点P（a，0）都满足|PQ|≥|a|，则a的取值范围是    ．

13. 难度：中等

定义区间[x₁，x₂]（x₁＜x₂）的长度为x₂-x₁，已知函数的定义域为[a，b]，值域为[0，2]，则区间[a，b]长度的最大值与最小值的差为    ．

14. 难度：中等

某同学对函数f（x）=xcosx进行研究后，得出以下五个结论：
①函数y=f（x）的图象是中心对称图形；
②对任意实数x，f（x）≤|x|均成立；
③函数y=f（x）的图象与x轴有无穷多个公共点，且任意相邻两点的距离相等；
④函数y=f（x）的图象与直线y=x有无穷多个公共点，且任意相邻两点的距离相等；
⑤当常数k满足|k|＞1时，函数y=f（x）的图象与直线y=kx有且仅有一个公共点．其中所有正确结论的序号是    ．

二、选择题

15. 难度：中等

若，有下面四个不等式：①|a|＞|b|；②a＜b；③a+b＜ab，④a³＞b³，不正确的不等式的个数是（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3

16. 难度：中等

“函数f（x）在[a，b]上为单调函数”是“函数f（x）在[a，b]上有最大值和最小值”的（ ）
A．充分非必要条件
B．必要非充分条件
C．充要条件
D．非充分非必要条件

17. 难度：中等

设A（a，1），B（2，b），C（4，5）为坐标平面上三点，O为坐标原点，若与在方向上的投影相同，则a与b满足的关系式为（ ）
A．4a-5b=3
B．5a-4b=3
C．4a+5b=14
D．5a+4b=14

18. 难度：中等

已知△ABC内接于单位圆，则长为sinA、sinB、sinC的三条线段（ ）
A．能构成一个三角形，其面积大于△ABC面积的一半
B．能构成一个三角形，其面积等于△ABC面积的一半
C．能构成一个三角形，其面积小于△ABC面积的一半
D．不一定能构成一个三角形

三、解答题

19. 难度：中等

已知命题P：，其中c为常数，命题Q：把三阶行列式中第一行、第二列元素的代数余子式记为f（x），且函数f（x）在上单调递增．若命题P是真命题，而命题Q是假命题，求实数c的取值范围．

20. 难度：中等

如图所示，在棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为直角梯形，且AB∥CD，∠BAD=90°，PA=AD=DC=2，AB=4．
（Ⅰ）求证：BC⊥PC；
（Ⅱ）求PB与平面PAC所成角的正弦值．

21. 难度：中等

已知O为坐标原点，，，，
（1）求函数f（x）的解析式，并化成f（x）=Asin（ωx+ϕ）+B的形式，再求f（x）的周期；
（2）若函数f（x）的定义域为，值域为[2，5]，求a，b的值．

22. 难度：中等

将数列{a_n}  中的所有项按第一排三项，以下每一行比上一行多一项的规则排成如数表：记表中的第一列数a₁，a₄，a₈，…构成的数列为{b_n}，已知：
①在数列{b_n}  中，b₁=1，对于任何n∈N^*，都有（n+1）b_n+1-nb_n=0；
②表中每一行的数按从左到右的顺序均构成公比为q（q＞0）的等比数列；
③．请解答以下问题：
（1）求数列{b_n}  的通项公式；
（2）求上表中第k（k∈N^*）行所有项的和S（k）；
（3）若关于x的不等式在上有解，求正整数k的取值范围．

23. 难度：中等

在平面直角坐标系中，已知焦距为4的椭圆的左、右顶点分别为A、B，椭圆C的右焦点为F，过F作一条垂直于x轴的直线与椭圆相交于R、S，若线段RS的长为．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若椭圆C上存在两个不同的点关于直线l：y=9x+m对称，求实数m的取值范围．
（3）若P为椭圆C在第一象限的动点，过点P作圆x²+y²=5的两条切线PA、PB，切点为A、B，直线AB与x轴、y轴分别交于点M、N，求△MON（O为坐标原点）面积的最小值．