2010年安徽省合肥一中高考数学冲刺最后一卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知z=（1-2sinθ）+（2cosθ+）i（0＜θ＜π）是纯虚数，则θ=（ ）
A．
B．
C．
D．或

2. 难度：中等

右图是把二进制数11111_（2）化为十进制数的一个程序框图，判断框内应填入的条件是（ ）
A．i＞4
B．i≤4
C．i＞5
D．i＜=5

3. 难度：中等

已知集合A={x|（x-1）（a-x）＞0}，集合B={x||x+1|+|x-2|≤3}，且（C_RA）∪B=R，则实数a的取值范围是
（ ）
A．（-∞，2）
B．（-1，+∞）
C．[-1，2]
D．[-1，1）∪（1，2]

4. 难度：中等

已知向量，则向量=（ ）
A．（1，-3）
B．（-1，3）
C．（6，-2）
D．（-6，2）

5. 难度：中等

已知函数，下面结论错误的是（ ）
A．函数的最小正周期是π
B．函数f（x）的图象关于直线对称
C．函数f（x）的区间上是增函数
D．函数f（x）的图象关于点对称

6. 难度：中等

等差数列{a_n}的前n项和为S_n，公差d＜0．若存在正整数m（m≥3），使得a_m=S_m，则“n＞m（n∈N^*）”是“S_n＜a_n”的（ ）
A．既不充分也不必要条件
B．充分不必要条件
C．必要不充分条件
D．充要条件

7. 难度：中等

设双曲线-=1的一条渐进线l与圆+y²=1只有一个公共点，则双曲线的离心率为（ ）
A．
B．3
C．
D．

8. 难度：中等

正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，与直线AD、B₁C、A₁C₁都相交的直线（ ）

A．有且仅有一条
B．有且仅有两条
C．有且仅有三条
D．有无数条

9. 难度：中等

第四届全国体育大会期间，5名志愿者被安排参加三个不同比赛项目的接待服务工作，则每个项目至少有一人参加的安排方法有（ ）
A．60种
B．150种
C．240种
D．540种

10. 难度：中等

已知函数，则函数F（x）=xf（x）-1的零点个数为（ ）
A．4
B．5
C．6
D．7

二、解答题

11. 难度：中等

从一堆苹果中任取5只，称得它们的质量分别为（单位：克）x、127、y、125、123，且平均质量为125，则该样本方差s²的最小值为     ．

12. 难度：中等

已知实数x、y满足的最小值为     ．

13. 难度：中等

对任意的实数a、b，a≠0，不等式|2a+3b|+|2a-3b|≥|a|（|x-1|+|x+1|），则实数x的取值范围是    ．

14. 难度：中等

由x轴、y轴和直线围成的三角形的三边与曲线（θ为参数）共有4个公共点，则动点（a，b）所形成区域的面积为     ．

15. 难度：中等

已知矩形ABCD中AB=4，BC=3，将其沿对角线AC折起，形成四面体ABCD，则以下命题正确的是：    （写出所有正确命题的序号）
①四面体ABCD体积最大值为；
②四面体ABCD中，AB⊥CD；
③四面体ABCD的侧视图可能是个等腰直角三角形；
④四面体ABCD的外接球表面积是25π．

16. 难度：中等

已知△ABC中，（b+a）（sinB-sinA）=asinB，又cos2C+cosC=1-cos（A-B）．
（I）试判断△ABC的形状；
（II）求cosC的值．

17. 难度：中等

如图所示，是合肥一中教学区示意图，现有甲乙丙丁4人来校加全国中学语文十校论坛，4人只能从校门进入校园，甲丁必从同一校门进校，甲乙丙3人从哪个校门进校互不影响，且每人从任何一校门进校都是等可能的．
（I）求仅有一人从西大门进入学校的概率；
（II）设4人中从西大门进入校园的人数为随机变量ξ，求ξ的数学期望；
（III）设随机变量，求Eη的最大值．

18. 难度：中等

如图，△ABC和△A₁AC是正三角形，平面A₁AC⊥底面ABC，A₁B₁⊥∥AB，A₁B₁=AB=2，
（I）求直线AA₁与平面AB₁C所成角的正弦值大小；
（II）已知点D是A₁B₁的中点，在平面ABCD内搁一点E，使DE⊥平面AB₁C，求点E到AC和B的距离．

19. 难度：中等

过曲线上一点与以此点为切点的切线垂直的直线，叫做曲线在该点的法线．
已知抛物线C的方程为y=ax²（a＞0，x≠0）．点M（x，y）是C上任意点，过点M作C的切线l，法线m．
（I）求法线m与抛物线C的另一个交点N的横坐标x_N取值范围；
（II）设点F是抛物线的焦点，连接FM，过点M作平行于y轴的直线n，设m与x轴的交点为S，n与x轴的交点为K，设l与x轴的交点为T，求证∠SMK=∠FMN

20. 难度：中等

已知函数有两个极值点．
（I）求实数a的取值范围；
（II）若存在实数a，使函数f（x）在区间[b，b+2]上单调递增，求实数b的取值范围．

21. 难度：中等

数列{a_n}满足a₁=1，a₂=2，，n=1，2，3，…．
（I）求证：a_n+1=a_n+，（n=1，2，3…）
（II）求证：；
（III）令b_n=，（n=1，2，3，…），判断b_n与b_n+1的大小，并说明理由．