2008年上海市普陀区高考数学二模试卷（解析版）

一、解答题

1. 难度：中等

已知2^x=0.618，且x∈[k，k+1]，k∈Z，则k=    ．

2. 难度：中等

若（a+2i）i=b+i，其中a、b∈R，i是虚数单位，则a+b=    ．

3. 难度：中等

等差数列{a_n}中，若a₇-a₃=20，则a₂₀₀₈-a₂₀₀₀=    ．

4. 难度：中等

若抛物线y²=4x上一点P到其焦点的距离为3，则点P的横坐标等于    ．

5. 难度：中等

已知向量，若，则实数n=    ．

6. 难度：中等

△ABC中，若sinA=2sinB，AC=2，则BC=    ．

7. 难度：中等

从集合A={-2，-1，1，2，3}中任取两个元素m、n（m≠n），则方程所对应的曲线表示焦点在y轴上的双曲线的概率是    ．

8. 难度：中等

设f（x）=3ax-2a+1，若存在x∈（-1，1），使f（x）=0，则实数a的取值范围是    ．

9. 难度：中等

若不等式组表示的平面区域是一个三角形，则a的取值范围是    ．

10. 难度：中等

设函数f（x）=|log₂x|，则f（x）在区间（m-2，2m）内有定义且不是单调函数的充要条件是    ．

11. 难度：中等

在平面直角坐标平面内，不难得到“对于双曲线xy=k（k＞0）上任意一点P，若点P在x轴、y轴上的射影分别为M、N，则|PM|•|PN|必为定值k”、类比于此，对于双曲线（a＞0，b＞0）上任意一点P，类似的命题为：    ．

二、选择题

12. 难度：中等

a=-1是直线ax+（2a-1）y+1=0和直线3x+ay+3=0垂直的（ ）
A．充分不必要的条件
B．必要不充分的条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件

13. 难度：中等

设是非零向量，若函数的图象是一条直线，则必有（ ）
A．
B．∥
C．
D．

14. 难度：中等

设集合A={x|x≥a}，集合B={x||x-3|＜1}，且B⊆A，则实数a的取值范围是（ ）
A．a＜2
B．a≤2
C．2＜a＜4
D．a＞4

15. 难度：中等

若正方体的一个截面恰好截这个正方体为等体积的两部分，则该截面（ ）
A．一定通过正方体的中心
B．一定通过正方体一个表面的中心
C．一定通过正方体的一个顶点
D．一定构成正多边形

三、解答题

16. 难度：中等

如图，在体积为16的正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，点M是DD₁的中点，且DD₁=2AD=2DC，求异面直线AD₁与C₁M所成角的大小（结果用反三角函数值表示）．

17. 难度：中等

已知定理：“如果两个非零向量不平行，那么（k₁，k₂∈R）的充要条件是k₁=k₂=0”．试用上述定理解答问题：
设非零向量与不平行．已知向量，向量，且．求k与θ的关系式；并当θ∈R时，求k的取值范围．

18. 难度：中等

已知函数．
（1）若，求x的值；
（2）若关于x的方程f（x）=a在x∈[2，16]有解，求实数a的取值范围．

19. 难度：中等

经济学中有一个用来权衡企业生产能力（简称“产能”）的模型，称为“产能边界”．它表示一个企业在产能最大化的条件下，在一定时期内所能生产的几种产品产量的各种可能的组合．例如，某企业在产能最大化条件下，一定时期内能生产A产品x台和B产品y台，则它们之间形成的函数y=f（x）就是该企业的“产能边界函数”．现假设该企业的“产能边界函数”为（如图）．
（1）试分析该企业的产能边界，分别选用①、②、③中的一个序号填写下表：

点Pi（x，y）对应的产量组合	实际意义
P1（350，450）	③
P2（200，300）
P3（500，400）
P4（408，420）

①这是一种产能未能充分利用的产量组合；
②这是一种生产目标脱离产能实际的产量组合；
③这是一种使产能最大化的产量组合．
（2）假设A产品每台利润为a（a＞0）元，B产品每台利润为A产品每台利润的2倍．在该企业的产能边界条件下，试为该企业决策，应生产A产品和B产品各多少台才能使企业从中获得最大利润？

20. 难度：中等

已知无穷数列{a_n}中，a₁，a₂，…，a_m是以10为首项，以-2为公差的等差数列；a_m+1，a_m+2，…，a_2m是以为首项，以为公比的等比数列（m≥3，m∈N^*）；并且对一切正整数n，都有a_n+2m=a_n成立．
（1）当m=3时，请依次写出数列{a_n}的前12项；
（2）若a₂₃=-2，试求m的值；
（3）设数列{a_n}的前n项和为S_n，问是否存在m的值，使得S_128m+3≥2008成立？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．

21. 难度：中等

已知点E，F的坐标分别是（-2，0）、（2，0），直线EP，FP相交于点P，且它们的斜率之积为．
（1）求证：点P的轨迹在椭圆上；
（2）设过原点O的直线AB交（1）题中的椭圆C于点A、B，定点M的坐标为，试求△MAB面积的最大值，并求此时直线AB的斜率k_AB；
（3）某同学由（2）题结论为特例作推广，得到如下猜想：
设点M（a，b）（ab≠0）为椭圆内一点，过椭圆C中心的直线AB与椭圆分别交于A、B两点．则当且仅当k_OM=-k_AB时，△MAB的面积取得最大值．
问：此猜想是否正确？若正确，试证明之；若不正确，请说明理由．