2011年江苏省南京外国语学校高三3月调研数学试卷（解析版）

一、解答题

1. 难度：中等

复数i²（1+i）的虚部是    ．

2. 难度：中等

已知，则cos（π-α）=    ．

3. 难度：中等

若曲线f（x）=x⁴-x在点P处的切线平行于直线3x-y=0，则点P的坐标为    ．

4. 难度：中等

如图所示，墙上挂有一边长为a的正方形木板，它的四个角的空白部分都是以正方形的顶点为圆心，半径为的圆弧，某人向此板投镖，假设每次都能击中木板，且击中木板上每个点的可能性都一样，则他击中阴影部分的概率是    ．

5. 难度：中等

设，若f（t）＞2，则实数t的取值范围是    ．

6. 难度：中等

若椭圆的左、右焦点分别为F₁，F₂，线段F₁F₂被抛物线y²=2bx的焦点F分成5﹕3的两段，则此椭圆的离心率为    ．

7. 难度：中等

如图伪代码的输出结果为    ．

8. 难度：中等

公差为d（d≠0）的等差数列{a_n}中，S_n是{a_n}的前n项和，则数列S₂₀-S₁₀，S₃₀-S₂₀，S₄₀-S₃₀也成等差数列，且公差为100d，类比上述结论，相应地在公比为q（q≠1）的等比数列{b_n}中，若T_n是数列{b_n}的前n项积，则有    ．

9. 难度：中等

将一枚骰子抛掷两次，若先后出现的点数分别为b，c，则方程x²+bx+c=0有实根的概率为     ．

10. 难度：中等

将正奇数排列如下表其中第i行第j个数表示a_ij（i∈N^*，j∈N^*），例如a₃₂=9，若a_ij=2009，则i+j=    ．

11. 难度：中等

已知点O为△ABC的外心，且，则=    ．

12. 难度：中等

在一个密封的容积为1的透明正方体容器内装有部分液体，如果任意转动该正方体，液面的形状都不可能是三角形，那么液体体积的取值范围是    ．

13. 难度：中等

对于函数f（x），在使f（x）≥M恒成立的所有常数M中，我们把M中的最大值称为函数f（x）的“下确界”，则函数的下确界为    ．

14. 难度：中等

三位同学合作学习，对问题“已知不等式xy≤ax²+2y²对于x∈[1，2]，y∈[2，3]恒成立，求a的取值范围”提出了各自的解题思路．
甲说：“可视x为变量，y为常量来分析”．
乙说：“不等式两边同除以x²，再作分析”．
丙说：“把字母a单独放在一边，再作分析”．
参考上述思路，或自已的其它解法，可求出实数a的取值范围是    ．

15. 难度：中等

已知向量a=（sin（+x），cosx），b=（sinx，cosx），f（x）=a•b．
（1）求f（x）的最小正周期和单调增区间；
（2）如果三角形ABC中，满足f（A）=，求角A的值．

16. 难度：中等

已知函数f（x）=x²-x+alnx
（1）当x≥1时，f（x）≤x²恒成立，求a的取值范围；
（2）讨论f（x）在定义域上的单调性．

17. 难度：中等

即将开工的上海与周边城市的城际列车铁路线将大大缓解交通的压力，加速城市之间的流通．根据测算，如果一列火车每次拖4节车厢，每天能来回16次；如果每次拖7节车厢，则每天能来回10次．每天来回次数是每次拖挂车厢个数的一次函数，每节车厢一次能载客110人，试问每次应拖挂多少节车厢才能使每天营运人数最多？并求出每天最多的营运人数．（注：营运人数指火车运送的人数）

18. 难度：中等

已知函数，常数a＞0．
（1）设m•n＞0，证明：函数f（x）在[m，n]上单调递增；
（2）设0＜m＜n且f（x）的定义域和值域都是[m，n]，求常数a的取值范围．

19. 难度：中等

已知数列{a_n}中，a₁=1，且点P（a_n，a_n+1）（n∈N^*）在直线x-y+1=0上．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若函数，求函数f（n）的最小值；
（3）设表示数列{b_n}的前项和．试问：是否存在关于n的整式g（n），使得S₁+S₂+S₃+…+S_n-1=（S_n-1）•g（n）对于一切不小于2的自然数n恒成立？若存在，写出g（n）的解析式，并加以证明；若不存在，试说明理由．

20. 难度：中等

已知函数，过点P（1，0）作曲线y=f（x）的两条切线PM，PN，切点分别为M，N．
（1）当t=2时，求函数f（x）的单调递增区间；
（2）设|MN|=g（t），试求函数g（t）的表达式；
（3）在（2）的条件下，若对任意的正整数n，在区间内，总存在m+1个数a₁，a₂，…，a_m，a_m+1，使得不等式g（a₁）+g（a₂）+…+g（a_m）＜g（a_m+1）成立，求m的最大值．