2004-2005学年上海市十校高三联考数学试卷（理科）（解析版）

一、解答题

1. 难度：中等

若集合A={x||x-2|＜3}，集合B={x|＞0}，则A∩B=    ．

2. 难度：中等

函数的反函数的定义域是    ．

3. 难度：中等

已知椭圆的左焦点是F₁，右焦点是F₂，点P在椭圆上，如果线段PF₁的中点在y轴上，那么|PF₁|：|PF₂|=    ．

4. 难度：中等

化简：=    ．

5. 难度：中等

已知，以为边作平行四边形OACB，则与的夹角为    ．

6. 难度：中等

在集合中任取一个元素，所取元素恰好满足方程的概率是    ．

7. 难度：中等

正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，与AD₁异面，且与AD₁所成角为60°的面对角线共有    条．

8. 难度：中等

曲线的长度是    ．

9. 难度：中等

若复数z满足（1+ai）z=a+i，且z在复平面内所对应的点位于x轴的上方，则实数a的取值范围是    ．

10. 难度：中等

一质点在直角坐标平面上沿直线匀速行进，上午7时和9时该动点的坐标依次为（1，2）和（3，-2），则下午5时该点的坐标是    ．

11. 难度：中等

若对任意实数x，y都有（x-2y）⁵=a（x+2y）⁵+a₁（x+2y）⁴y+a₂（x+2y）³y²+a₃（x+2y）²y³++a₄（x+2y）y⁴+a₅y⁵，则a+a₁+a₂+a₃+a₄+a₅=    ．

12. 难度：中等

对于各数互不相等的正数数组（i₁，i₂，…，i_n）（n是不小于2的正整数），如果在p＜q时有i_p＞i_q，则称i_p与i_q是该数组的一个“逆序”，一个数组中所有“逆序”的个数称为此数组的“逆序数”．例如，数组（2，4，3，1）中有逆序“2，1”，“4，3”，“4，1”，“3，2”，其“逆序数”等于4．若各数互不相等的正数数组（a₁，a₂，a₃，a₄，a₅，a₆）的“逆序数”是2，则（a₆，a₅，a₄，a₃，a₂，a₁）的“逆序数”是    ．

二、选择题

13. 难度：中等

若角α和β的始边都是x轴的正半轴，则α-β=π是两角终边互为反向延长线的                （ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件

14. 难度：中等

函数（ ）
A．在（-1，1）上单调递增
B．在（-1，0）上单调递增，在（0，1）上单调递减
C．在（-1，1）上单调递减
D．在（-1，0）上单调递减，在（0，1）上单调递增

15. 难度：中等

2005年1月6日《文汇报》载当日我国人口达到13亿，如图为该报提供的我国人口统计数据．2000年第五次全国人口普查后，专家们估算我国人口数的峰值为16亿，如果我国的人口增长率维持在最近几年的水平，那么，我国人口数大致在哪一年左右达到峰值（ ）

A．2025
B．2040
C．2050
D．2065

16. 难度：中等

定义域和值域均为[-a，a]（常数a＞0）的函数y=f（x）和y=g（x）的图象如图所示，给出下列四个命题：
（1）方程f[g（x）]=0有且仅有三个解；
（2）方程g[f（x）]=0有且仅有三个解；
（3）方程f[f（x）]=0有且仅有九个解；
（4）方程g[g（x）]=0有且仅有一个解．
那么，其中正确命题的个数是（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4

三、解答题

17. 难度：中等

在一个圆形波浪实验水池的中心有三个振动源，假如不计其它因素，在t秒内，它们引发的水面波动可分别由函数和描述．如果两个振动源同时启动，则水面波动由两个函数的和表达．在某一时刻使这三个振动源同时开始工作，那么，原本平静的水面将呈现怎样的状态，请说明理由．

18. 难度：中等

解关于x的不等式2^x（2^2x-1）＜λ（2^x-2^-x）．

19. 难度：中等

过直角坐标平面xOy中的抛物线y²=2px（p＞0）的焦点F作一条倾斜角为的直线与抛物线相交于A、B两点．
（1）用p表示A，B之间的距离；
（2）证明：∠AOB的大小是与p无关的定值，并求出这个值．

20. 难度：中等

一个多面体的直观图，前视图（正前方观察），俯视图（正上方观察），侧视图（左侧正前方观察）如图所示．
（1）求A₁A与平面ABCD所成角的大小及面AA₁D₁与面ABCD所成二面角的大小；
（2）求此多面体的表面积和体积．

21. 难度：中等

已知，数列{a_n}有a₁=a，a₂=2，对任意的正整数n，S_n=a₁+a₂+…+a_n，并有S_n满足．
（1）求a的值；
（2）求证数列{a_n}是等差数列；
（3）对于数列{b_n}，假如存在一个常数b使得对任意的正整数n都有b_n＜b且，则称b为数列{b_n}的“上渐进值”，令，求数列{p₁+p₂+…+p_n-2n}的“上渐进值”．

22. 难度：中等

（1）若直角三角形两直角边长之和为12，求其周长p的最小值；
（2）若三角形有一个内角为，周长为定值p，求面积S的最大值；
（3）为了研究边长a，b，c满足9≥a≥8≥b≥4≥c≥3的三角形其面积是否存在最大值，现有解法如下：16S²=（a+b+c）（a+b-c）（a-b+c）（-a+b+c）=[（a+b）²-c²][c²-（a-b）²]=-c⁴+2（a²+b²）c²-（a²-b²）²=-[c²-（a²+b²）]²+4a²b²
而-[c²-（a²+b²）]²≤0，a²≤81，b²≤64，则S≤36，但是，其中等号成立的条件是c²=a²+b²，a=9，b=8，于是c²=145与3≤c≤4矛盾，所以，此三角形的面积不存在最大值．
以上解答是否正确？若不正确，请你给出正确的答案．
（注：16S²=（a+b+c）（a+b-c）（a-b+c）（-a+b+c）称为三角形面积的海伦公式，它已经被证明是正确的）