2011年上海市杨浦区高考数学一模试卷（理科）（解析版）

一、解答题

1. 难度：中等

若复数z满足，则|z|=    ．

2. 难度：中等

抛物线y²=4x的焦点到准线的距离是    ．

3. 难度：中等

函数的定义域为    ．

4. 难度：中等

已知等差数列a_n首项为1，公差为2．若a_k=7时，则项数k=    ．

5. 难度：中等

若f（x）=是奇函数，则a=______．

6. 难度：中等

函数f（x）=（sinx-cosx）²的最小正周期为    ．

7. 难度：中等

在的二项展开式中，x³的系数是    （用数字作答）．

8. 难度：中等

计算：=    ．

9. 难度：中等

设△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c．若，则角C=    °．

10. 难度：中等

若经过点P（0，2）且以为方向向量的直线l与双曲线3x²-y²=1相交于不同两点A、B，则实数a的取值范围是    ．

11. 难度：中等

若全集U=R，不等式＞0的解集为A，则   A=    ．

12. 难度：中等

若θ为第二象限的角，，则cos2θ=    ．

13. 难度：中等

若直线m被两平行线l₁：x-y+1=0与x-y-1=0所截得线段的长为，则直线m的倾斜角是    ．

14. 难度：中等

如图，已知△OAP的面积为S，．设，，并且以O为中心、A为焦点的椭圆经过点P．当取得最小值时，则此椭圆的方程为    ．

二、选择题

15. 难度：中等

函数f（x）=x³+sinx+1（x∈R），若f（a）=2，则f（-a）的值为（ ）
A．3
B．0
C．-1
D．-2

16. 难度：中等

“a=2”是“函数f（x）=|x-a|在[2，+∞）上是增函数”的（ ）
A．充分非必要条件
B．必要非充分条件
C．充要条件
D．即非充分也非必要条件

17. 难度：中等

已知点A的坐标为（3，2），F为抛物线y²=2x的焦点，若点P在抛物线上移动，当|PA|+|PF|取得最小值时，则点P的坐标是（ ）
A．（1，）
B．（2，2）
C．（2，-2）
D．（3，）

18. 难度：中等

已知△ABC的面积是30，内角A、B、C所对边分别为a、b、c，．若c-b=1，则a的值是（ ）
A．3
B．4
C．5
D．不确定

三、解答题

19. 难度：中等

已知函数f（x）=a^x-1-2（a＞0且f（x）=a^x-1-2）的反函数y=f^-1（x）定义域为集合a≠1，集合．若A∩B=φ，求实数t的取值范围．

20. 难度：中等

设函数f（x）=-x²+2x+a（0≤x≤3）的最大值为m，最小值为n，其中a≠0，a∈R．
（1）求m、n的值（用a表示）；
（2）已知角β的顶点与平面直角坐标系中的原点O重合，始边与x轴的正半轴重合，终边经过点A（m-1，n+3）．求的值．

21. 难度：中等

已知数列{a_n}的前n项和S_n满足条件2S_n=3（a_n-1），其中n∈N^*．
（1）求证：数列{a_n}成等比数列；
（2）设数列{b_n}满足b_n=log₃a_n． 若 c_n=a_nb_n，求数列{c_n}的前n项和．

22. 难度：中等

上海世博会期间，某工厂生产A，B，C三种世博纪念品，每种纪念品均有精品型和普通型两种．某一天产量如下表（单位：个）：

	纪念品A	纪念品B	纪念品C
精品型	100	150	n
普通型	300	450	600

（1）现采用分层抽样的方法在这一天生产的纪念品中抽取200个，其中有A种纪念品40个．求n的值；
（2）从B种精品型纪念品中抽取5个，其某种指标的数据分别如下：x，y，10，11，9；把这5个数据看作一个总体，其均值为10，方差为2； 求|x-y|的值；
（3）用分层抽样的方法在C种纪念品中抽取一个容量为5的样本．将该样本看成一个总体，从中任取2个纪念品，求至少有1个精品型纪念品的概率．

23. 难度：中等

给定椭圆C：C，称圆心在坐标原点O，半径为（a＞b＞0）的圆是椭圆C的“伴随圆”．
（1）若椭圆C过点，且焦距为4，求“伴随圆”的方程；
（2）如果直线与椭圆C的“伴随圆”有且只有一个交点，那么请你画出动点轨迹的大致图形；
（3）已知椭圆C的两个焦点分别是Q（a，b），椭圆C上一动点M₁满足．设点P是椭圆C的“伴随圆”上的动点，过点P作直线l₁、l₂使得l₁、l₂与椭圆C都各只有一个交点，且l₁、l₂分别交其“伴随圆”于点M、N．当P为“伴随圆”与M、N轴正半轴的交点时，求与l₂的方程，并求线段的长度．