2010年上海市浦东新区高考数学二模试卷（理科）（解析版）

一、解答题

1. 难度：中等

若，则cos2α=    ．

2. 难度：中等

不等式的解是    ．

3. 难度：中等

若自然数n满足C₆ⁿ=20，则行列式=    ．

4. 难度：中等

已知集合A={y|y=sinx，x∈R}，集合，则A∩B=    ．

5. 难度：中等

的二项展开式中，常数项的值是     ．

6. 难度：中等

已知一组数据7、8、9、x、y的平均数是8，则这组数据的中位数是    ．

7. 难度：中等

阅读下列程序框图，该程序输出的结果是    ．

8. 难度：中等

有一种叫做“天天彩”的彩票，每注售价为2元．设一等奖、二等奖两种奖．一等奖中奖的概率0.1%，奖金为100元；二等奖中奖的概率为10%，奖金为10元．那么购买一注彩票的期望收益是     ．

9. 难度：中等

在等比数列{a_n}中，a_n＞0，且a₁•a₂•…•a₇•a₈=16，则a₄+a₅的最小值为    ．

10. 难度：中等

以双曲线的右焦点为圆心，且被其渐近线截得的弦长为6的圆的方程为    ．

11. 难度：中等

设点A（1，1）、B（1，-1），O是坐标原点，将△OAB绕y轴旋转一周，所得几何体的体积为     ．

12. 难度：中等

设关于x的不等式|x²-4x+m|≤x+4的解集为A，且0∈A，2∉A，则实数m的取值范围是    ．

13. 难度：中等

设函数y=f（x）由方程x|x|+y|y|=1确定，下列结论正确的是     （请将你认为正确的序号都填上）
（1）f（x）是R上的单调递减函数；
（2）对于任意x∈R，f（x）+x＞0恒成立；
（3）对于任意a∈R，关于x的方程f（x）=a都有解；
（4）f（x）存在反函数f^-1（x），且对于任意x∈R，总有f（x）=f^-1（x）成立．

14. 难度：中等

我们知道，如果定义在某区间上的函数f（x）满足对该区间上的任意两个数x₁、x₂，总有不等式成立，则称函数f（x）为该区间上的向上凸函数（简称上凸）．类比上述定义，对于数列{a_n}，如果对任意正整数n，总有不等式：成立，则称数列{a_n}为向上凸数列（简称上凸数列）．现有数列{a_n}满足如下两个条件：
（1）数列{a_n}为上凸数列，且a₁=1，a₁₀=28；
（2）对正整数n（1≤n＜10，n∈N^*），都有|a_n-b_n|≤20，其中b_n=n²-6n+10．
则数列{a_n}中的第五项a₅的取值范围为    ．

二、选择题

15. 难度：中等

“直线α与平面M没有公共点”是“直线α与平面M平行”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件

16. 难度：中等

在极坐标系中，与点关于极点对称的点的坐标是（ ）
A．
B．
C．
D．

17. 难度：中等

设O为坐标原点，复数z₁、z₂在复平面内对应的点分别为P、Q，则下列结论中不一定正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．

18. 难度：中等

如图，在直角坐标平面内有一个边长为a、中心在原点O的正六边形ABCDEF，AB∥Ox．直线L：y=kx+t（k为常数）与正六边形交于M、N两点，记△OMN的面积为S，则函数S=f（t）的奇偶性为（ ）

A．偶函数
B．奇函数
C．不是奇函数，也不是偶函数
D．奇偶性与k有关

三、解答题

19. 难度：中等

直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，底面ABC为等腰直角三角形，且AB⊥AC，AB=AC=2，AA₁=4，M是侧棱CC₁上一点，设MC=h．
（1）若BM⊥A₁C，求h的值；
（2）若直线AM与平面ABC所成的角为，求多面体ABM-A₁B₁C₁的体积．

20. 难度：中等

已知向量（m∈R），且．设y=f（x）．
（1）求f（x）的表达式，并求函数f（x）在上图象最低点M的坐标．
（2）若对任意，f（x）＞t-9x+1恒成立，求实数t的范围．

21. 难度：中等

2010年上海世博会组委会为保证游客参观的顺利进行，对每天在各时间段进入园区和离开园区的人数作了一个模拟预测．为了方便起见，以10分钟为一个计算单位，上午9点10分作为第一个计算人数的时间，即n=1；9点20分作为第二个计算人数的时间，即n=2；依此类推…，把一天内从上午9点到晚上24点分成了90个计算单位．
对第n个时刻进入园区的人数f（n）和时间n（n∈N^*）满足以下关系（如图1）：f（n）=，n∈N^*
对第n个时刻离开园区的人数g（n）和时间n（n∈N^*）满足以下关系（如图2）：g（n）=，n∈N^*
（1）试计算在当天下午3点整（即15点整）时，世博园区内共有多少游客？
（2）请求出当天世博园区内游客总人数最多的时刻．

22. 难度：中等

设复数β=x+yi（x，y∈R）与复平面上点P（x，y）对应．
（1）若β是关于t的一元二次方程t²-2t+m=0（m∈R）的一个虚根，且|β|=2，求实数m的值；
（2）设复数β满足条件|β+3|+（-1）ⁿ|β-3|=3a+（-1）ⁿa（其中n∈N^*、常数），当n为奇数时，动点P（x、y）的轨迹为C₁．当n为偶数时，动点P（x、y）的轨迹为C₂．且两条曲线都经过点，求轨迹C₁与C₂的方程；
（3）在（2）的条件下，轨迹C₂上存在点A，使点A与点B（x，0）（x＞0）的最小距离不小于，求实数x的取值范围．

23. 难度：中等

已知函数f（x）=log₂x．
（1）若f（x）的反函数是f^-1（x），解方程：f^-1（2x+1）=3f^-1（x）-1；
（2）当x∈（3m，3m+3]（m∈N）时，定义g（x）=f（x-3m）．设a_n=n•g（n），数列{a_n}的前n项和为S_n，求a₁、a₂、a₃、a₄和S_3n；
（3）对于任意a、b、c∈[M，+∞），且a≥b≥c．当a、b、c能作为一个三角形的三边长时，f（a）、f（b）、f（c）也总能作为某个三角形的三边长，试探究M的最小值．