2011年上海市闵行区高考数学三模试卷（文理合卷）（解析版）

一、解答题

1. 难度：中等

已知集合M={x||x+1|≤1}，N=-{1，0，1}，那么M∩N=    ．

2. 难度：中等

线性方程组的增广矩阵为    ．

3. 难度：中等

已知，则=    ．

4. 难度：中等

=    ．

5. 难度：中等

若z₁=a+3i，z₂=3+4i，且为纯虚数，则实数a=    ．

6. 难度：中等

圆锥的侧面展开图为扇形，若其弧长为2πcm，半径为cm，则该圆锥的体积为    cm³．

7. 难度：中等

经过点A（2，0）且与极轴夹角为的直线l的极坐标方程为    ．

8. 难度：中等

已知数列{a_n}是以-15为首项，2为公差的等差数列，S_n是其前n项和，则数列{S_n}的最小项为第    项．

9. 难度：中等

如果随机变量ξ的概率分布律由下表给出：

x	-0.5	3	4
P（ξ=x）	0.4	0.2	0.4

则ξ的方差Dξ=    ．

10. 难度：中等

若直线ax+2by-2=0（a，b＞0）始终平分圆x²+y²-4x-2y-8=0的周长，则的最小值为    ．

11. 难度：中等

如图，设P是单位圆和x轴正半轴的交点，M、N是单位圆上的两点，O是坐标原点，，∠PON=α，α∈[0，π]，，则f（a）的范围为    ．

12. 难度：中等

如图，在边长为1的正方形ABCD中，E为BC的中点，若F为正方形内（含边界）任意一点，则的最大值为    ．

13. 难度：中等

已知双曲线与抛物线y²=8x有一个公共的焦点F，且两曲线的一个交点为P，|PF|=5，则该双曲线的两条渐近线方程为    ．

14. 难度：中等

已知等差数列{a_n}，对于函数f（x）满足：f（a₂-2）=（a₂-2）⁵+（a₂-2）³=6，f（a₂₀₁₀-4）=（a₂₀₁₀-4）⁵+（a₂₀₁₀-4）³=-6，其中S_n是其前n项和，则S₂₀₁₁=    ．

二、选择题

15. 难度：中等

“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件

16. 难度：中等

某单位有青年职工160人，中年职工人数是老年职工人数的2倍，老、中、青职工共有430人．为了解职工身体状况，现采用分层抽样方法进行调查，在抽取的样本中有青年职工32人，则该样本中的老年职工人数为（ ）
A．16
B．18
C．27
D．36

17. 难度：中等

设函数、的零点分别为x₁、x₂，则（ ）
A．0＜x₁x₂＜1
B．x₁x₂=1
C．1＜x₁x₂＜2
D．x₁x₂≥2

18. 难度：中等

给出条件：①x₁＜x₂，②|x₁|＞x₂，③x₁＜|x₂|，④x₁²＜x₂²．函数f（x）=sin²x+x²，对任意，都使f（x₁）＜f（x₂）成立的条件序号是（ ）
A．①③
B．②④
C．③④
D．④

三、解答题

19. 难度：中等

如图，已知ABCD-A₁B₁C₁D₁是底面为正方形的长方体，∠AD₁A₁=60°，AD₁=4，P为AD₁的中点，（1）求证：直线C₁P∥平面AB₁C；（2）求异面直线AA₁与B₁P所成角的余弦值．

20. 难度：中等

某工厂因排污比较严重，决定着手整治，一个月时污染度为60，整治后前四个月的污染度如表：

月数	1	2	3	4	…
污染度	60	31	13		…

污染度为0后，该工厂即停止整治，污染度又开始上升，现用下列三个函数模拟从整治后第一个月开始工厂的污染模式：f（x）=20|x-4|（x≥1），，，其中x表示月数，f（x）、g（x）、h（x）分别表示污染度．
（1）问选用哪个函数模拟比较合理？并说明理由；
（2）若以比较合理的模拟函数预测，整治后有多少个月的污染度不超过60？

21. 难度：中等

已知O是线段AB外一点，若，．
（1）设点A₁、A₂是线段AB的三等分点，△OAA₁、△OA₁A₂及△OA₂B的重心依次为G₁、G₂、G₃，试用向量、表示；
（2）如果在线段AB上有若干个等分点，你能得到什么结论？请证明你的结论．

22. 难度：中等

已知椭圆中心为O，右顶点为M，过定点D（t，0）（t≠±2）作直线l交椭圆于A、B两点．
（1）若直线l与x轴垂直，求三角形OAB面积的最大值；
（2）若，直线l的斜率为1，求证：∠AMB=90°；
（3）在x轴上，是否存在一点E，使直线AE和BE的斜率的乘积为非零常数？若存在，求出点E的坐标和这个常数；若不存在，说明理由．

23. 难度：中等

定义：对于任意n∈N^*，满足条件且a_n≤M（M是与n无关的常数）的无穷数列a_n称为T数列．
（1）若a_n=-n²+9n（n∈N^*），证明：数列a_n是T数列；
（2）设数列b_n的通项为，且数列b_n是T数列，求常数M的取值范围；
（3）设数列（n∈N^*，p＞1），问数列b_n是否是T数列？请说明理由．