2011年上海市浦东新区建平中学高考数学三模试卷（理科）（解析版）

一、解答题

1. 难度：中等

若集合A={x||x-2|＜3}，集合B={x|＞0}，则A∩B=    ．

2. 难度：中等

若，，则tanα=    ．

3. 难度：中等

若=4i-2（i为虚数单位），则复数z=    ．

4. 难度：中等

样本容量为200的频率分布直方图如图所示．根据样本的频率分布直方图估计，样本数据落在[6，10）内的频数为    ．

5. 难度：中等

若函数f（x）的反函数是f^-1（x）=log₂（x-1），则=    ．

6. 难度：中等

二项展开式中，第    项是常数项．

7. 难度：中等

已知y是1+x和1-x的等比中项，则x+y的取值范围是    ．

8. 难度：中等

在五一节期间，甲外出旅游的概率是，乙外出旅游的概率是，假定甲乙两人的行动相互之间没有影响，则五一期间两人中至少有一人外出旅游的概率是    ．

9. 难度：中等

一个圆柱形容器的轴截面尺寸如右图所示，容器内有一个实心的球，球的直径恰等于圆柱的高．现用水将该容器注满，然后取出该球（假设球的密度大于水且操作过程中水量损失不计），则球取出后，容器中水面的高度为    cm．

10. 难度：中等

在极坐标系中，定点，动点B在曲线ρ=2cosθ上移动，当线段AB最短时，点B的极径为    ．

11. 难度：中等

已知x∈[-1，8]，．若对任意x₁∈[-1，8]，总存在，使得f（x₁）≥g（x₂）成立，则实数a的取值范围是    ．

12. 难度：中等

已知AB是椭圆的长轴，若把该长轴n等分，过每个等分点作AB的垂线，依次交椭圆的上半部分于点P₁，P₂，…，P_n-1，设左焦点为F₁，则=    ．

13. 难度：中等

已知函数f（x）=2mx²-2（4-m）x+1，g（x）=mx，若对于任一实数x，f（x）与g（x）至少有一个为正数，则实数m的取值范围是    ．

14. 难度：中等

在平面直角坐标系中，定义d（P，Q）=|x₁-x₂|+|y₁-y₂|为两点P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）之间的“折线距离”．则圆x²+y²=1上一点与直线上一点的“折线距离”的最小值是    ．

二、选择题

15. 难度：中等

若函数f（x）=2^x-1-a有零点，则实数a的取值范围是（ ）
A．（-∞，0]
B．[0，+∞）
C．（-∞，0）
D．（0，+∞）

16. 难度：中等

已知程序框图如图所示，则该程序框图的功能是（ ）
A．求数列的前10项和（n∈N^*）
B．求数列的前10项和（n∈N^*）
C．求数列的前11项和（n∈N^*）
D．求数列的前11项和（n∈N^*）

17. 难度：中等

在△ABC中，“•=•”是“||=||”（ ）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件

18. 难度：中等

已知关于x的方程，其中、、都是非零向量，且、不共线，则该方程的解的情况是（ ）
A．至多有一个解
B．至少有一个解
C．至多有两个解
D．可能有无数个解

三、解答题

19. 难度：中等

已知虚数z₁=cosα+isinα，z₂=cosβ+isinβ，
（1）若，求cos（α-β）的值；
（2）若z₁，z₂是方程3x²-2x+c=0的两个根，求实数c的值．

20. 难度：中等

如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，CC₁=AC=BC=2，∠ACB=90°，P是AA₁的中点，Q是AB的中点．
（1）求证：PQ⊥平面B₁CQ；
（2）求平面B₁CQ和平面A₁C₁Q所成锐二面角的大小．

21. 难度：中等

某企业投入81万元经销某产品，经销时间共60个月，市场调研表明，该企业在经销这个产品期间第x个月的利润（单位：万元），为了获得更多的利润，企业将每月获得的利润投入到次月的经营中，记第x个月的当月利润率，例如：．
（1）求g（10）；
（2）求第x个月的当月利润率g（x）；
（3）该企业经销此产品期间，哪个月的当月利润率最大，并求该月的当月利润率．

22. 难度：中等

已知抛物线y²=2px（p＞0）和四个点A、B、C、D，其中A在抛物线上，B（b，0），C（0，c）（c≠0），且直线AC交X轴于D点
（1）若p=2，b=-8，且D为AC中点，求证：AC⊥BC
（2）若p=2，b=1，且AC⊥BC，判断A，C，D三点的位置关系，并说明理由．
（3）对（1）（2）两个问题的探究过程中，涉及到以下三个条件：
①AC⊥BC；  ②点A、C、D的位置关系； ③点B的坐标．
对抛物线y²=2px（p＞0），请以其中的两个条件做前提，一个做结论，写出三个真命题，（不必证明）．

23. 难度：中等

已知数列{a_n}，{b_n}满足b_n=a_n+1-a_n其中n=1，2，3，…．
（1）若b_n=n且a₁=1，求数列{a_n}的通项公式；
（2）若b_n+1b_n-1=b_n（n≥2），且b₁=1，b₂=2时
①求数列{b_n}的前6n项和；
②判断数列中任意一项的值是否会在该数列中出现无数次？若存在，求出a₁满足的条件，若不存在，并说明理由．