2009年上海市普陀区高考数学二模试卷（理科）（解析版）

一、解答题

1. 难度：中等

在极坐标系中，曲线ρ=4sinθ和ρcosθ=1相交于点A、B，则|AB|=    ．

2. 难度：中等

设连接双曲线与的4个顶点的四边形面积为S₁，连接其4个焦点的四边形面积为S₂，则的最大值为    ．

3. 难度：中等

将函数的图象向左平移a（a＞0）个单位，所得图象对应的函数为偶函数，则a的最小值为    ．

4. 难度：中等

园丁要用红、黄、蓝、白四种不同颜色的鲜花布置如图所示圆形花坛的四块区域．要求同一区域内须用同一种颜色的鲜花，相邻区域须用不同颜色的鲜花．设花圃中布置红色鲜花的区域数量为ξ，则随机变量ξ的数学期望Eξ    ．

5. 难度：中等

已知，{a_n}是首项为a公差为1的等差数列，．如对任意的n∈N^*，都有b_n≥b₈，成立，则a的取值范围是    ．

二、选择题

6. 难度：中等

以下向量中，能成为以行列式形式表示的直线方程的一个法向量的是（ ）
A．=（-1，-2）
B．=（2，1）
C．=（1，-2）
D．=（-2，1）

7. 难度：中等

数列{a_n}的首项a₁=1，前n项之和为S_n，已知向量时，成立，则（ ）
A．
B．-1
C．
D．

8. 难度：中等

在△ABC中，“cosA=2sinBsinC”是“△ABC为钝角三角形”的（ ）
A．必要不充分条件
B．充要条件
C．充分不必要条件
D．既不充分也不必要条件

9. 难度：中等

现有两个命题：
（1）若lgx+lgy=lg（x+y），且不等式y＞-2x+t恒成立，则t的取值范围是集合P；
（2）若函数，x∈（1，+∞）的图象与函数g（x）=-2x+t的图象没有交点，则t的取值范围是集合Q；
则以下集合关系正确的是（ ）
A．P⊊Q
B．Q⊊P
C．P=Q
D．P∩Q=∅

三、解答题

10. 难度：中等

过抛物线y²=4x的焦点F且方向向量为的直线l交该抛物线于A、B两点，求的值．

11. 难度：中等

已知复数z₁=cosx+i，z₂=1+sinx•i（i是虚数单位），且．当实数x∈（-2π，2π）时，试用列举法表示满足条件的x的取值集合P．

12. 难度：中等

若n∈N^*，（a_n、b_n∈Z）．
（1）求a₅+b₅的值；
（2）求证：数列{b_n}各项均为奇数．

13. 难度：中等

某仓库为了保持库内的湿度和温度，四周墙上均装有如图所示的自动通风设施．该设施的下部ABCD是矩形，其中AB=2米，BC=0.5米．上部CmD是个半圆，固定点E为CD的中点．△EMN是由电脑控制其形状变化的三角通风窗（阴影部分均不通风），MN是可以沿设施边框上下滑动且始终保持和AB平行的伸缩横杆（MN和AB、DC不重合）．
（1）当MN和AB之间的距离为1米时，求此时三角通风窗EMN的通风面积；
（2）设MN与AB之间的距离为x米，试将三角通风窗EMN的通风面积S（平方米）表示成关于x的函数S=f（x）；
（3）当MN与AB之间的距离为多少米时，三角通风窗EMN的通风面积最大？并求出这个最大面积．

14. 难度：中等

如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是直角梯形，其中DA⊥AB，AD∥BC．PA=2AD=BC=2AB=2．
（1）求异面直线PC与AD所成角的大小；
（2）若平面ABCD内有一经过点C的曲线E，该曲线上的任一动点Q都满足PQ与AD所成角的大小恰等PC与AD所成角．试判断曲线E的形状并说明理由；
（3）在平面ABCD内，设点Q是（2）题中的曲线E在直角梯形ABCD内部（包括边界）的一段曲线CG上的动点，其中G为曲线E和DC的交点．以B为圆心，BQ为半径的圆分别与梯形的边AB、BC交于M、N两点．当Q点在曲线段GC上运动时，试提出一个研究有关四面P-BMN的问题（如体积、线面、面面关系等）并尝试解决．
（说明：本小题将根据你提出的问题的质量和解决难度分层评分；本小题的计算结果可以使用近似值，保留3位小数）

15. 难度：中等

若复z=i²+i（i是虚数单位），则|z|=    ．

16. 难度：中等

已知函f（x）=1+log_ax（a＞0且a≠1），f^-1（x）是f（x）的反函数，若y=f^-1（x）的图象过点（3，4），则a=    ．

17. 难度：中等

用金属薄板制作一个直径为0.2米，长为3米的圆柱形通风管．若不计损耗，则需要原材料    平方米（保留3位小数）．

18. 难度：中等

设、是平面内一组基向量，且、，则向量可以表示为另一组基向量、的线性组合，即=    +    ．

19. 难度：中等

如图是某算法的程序框图，该算法可表示分段函数，则其输出结果所表示的分段函数为f（x）=    ．

20. 难度：中等

关于x、y的二元线性方程组 的增广矩阵经过变换，最后得到的矩阵为，=    ．