2010年江苏省南通中学高三数学最后10天冲刺试卷（6）（解析版）

一、解答题

1. 难度：中等

已知矩阵，若矩阵A属于特征值6的一个特征向量为，属于特征值1的一个特征向量为，求矩阵A．

2. 难度：中等

过点P（-3，0）且倾斜角为30°的直线和曲线（t为参数）相交于A，B两点．求线段AB的长．

3. 难度：中等

在平面直角坐标系xoy中，动点P到直线x=4的距离与它到点F（2，0）的距离之比为．
（1）求动点P的轨迹C的方程；
（2）过点F（2，0）作垂直于x轴的直线l，求轨迹C与y轴及直线l围成的封闭图形的面积．

4. 难度：中等

某大楼共5层，4个人从第一层上电梯，假设每个人都等可能地在每一层下电梯，并且他们下电梯与否相互独立．又知电梯只在有人下时才停止．
（I）求某乘客在第i层下电梯的概率（i=2，3，4，5）；
（Ⅱ）求电梯在第2层停下的概率；
（Ⅲ）求电梯停下的次数ξ的数学期望．

5. 难度：中等

如图，在某城市中，M，N两地之间有整齐的方格形道路网，其中A₁、A₂、A₃、A₄是道路网中位于一条对角线上的4个交汇处．今在道路网M，N处的甲、乙两人分别要到N，M处，他们分别随机地选择一条沿街的最短路径，以相同的速度同时出发，直到到达N，M为止．
（1）求甲经过A₂到达N的方法有多少种；
（2）求甲、乙两人在A₂处相遇的概率；
（3）求甲、乙两人相遇的概率．

6. 难度：中等

设数列{a_n}满足a₁=a，a_n+1=a_n²+a₁，M={a∈R|n∈N*，|a_n|≤2}．
（1）当a∈（-∞，-2）时，求证：a∉M；
（2）当a∈（0，]时，求证：a∈M；
（3）当a∈（，+∞）时，判断元素a与集合M的关系，并证明你的结论．

7. 难度：中等

已知a_n=A_n¹+A_n²+A_n³+…+A_nⁿ（n∈N^*），当n≥2时，求证：
（1）；
（2）．