2011年上海市徐汇区高考数学三模试卷（文科）（解析版）

一、解答题

1. 难度：中等

函数f（x）=4^x-1的反函数f^-1（x）=    ．

2. 难度：中等

设集合A={5，log₂（a+3）}，集合B={a，b}．若A∩B={2}，则A∪B=    ．

3. 难度：中等

函数的零点所在的区间为（n，n+1）（n∈Z），则n=    ．

4. 难度：中等

在（x-a）¹⁰的展开式中，x⁷的系数是15，则实数a=    ．

5. 难度：中等

若复数z同时满足（i为虚数单位），则复数z=    ．

6. 难度：中等

系数矩阵为，且解为的一个线性方程组是    ．

7. 难度：中等

在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，且，则角C的大小为    ．

8. 难度：中等

已知直线l经过点且方向向量为（2，-1），则原点O到直线l的距离为    ．

9. 难度：中等

从1，2，3，4，5这五个数中任取两个数，这两个数的和是奇数的概率为    ．（结果用数值表示）

10. 难度：中等

在一个水平放置的底面半径为cm的圆柱形量杯中装有适量的水，现放入一个半径为Rcm的实心铁球，球完全浸没于水中且无水溢出，若水面高度恰好上升Rcm，则R=    cm．

11. 难度：中等

若双曲线的渐近线方程为y=±3x，它的一个焦点与抛物线的焦点重合，则双曲线的标准方程为    ．

12. 难度：中等

在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点．定义P（x₁，y₁）、Q（x₂，y₂）两点之间的“直角距离”为d（P，Q）=|x₁-x₂|+|y₁-y₂|．已知B（1，1），点M为直线x-y+4=0上的动点，则d（B，M）的最小值为    ．

13. 难度：中等

若曲线|y|=2^x+1与直线y=b没有公共点，则实数b的取值范围是    ．

14. 难度：中等

设不等式组所表示的平面区域D_n的整点（即横坐标和纵坐标均为整数的点）个数为a_n，则=    ．

二、选择题

15. 难度：中等

已知O，A，B是平面上不共线的三点，若点C满足，则向量等于（ ）
A．
B．
C．
D．

16. 难度：中等

设{a_n}是首项大于零的等比数列，则“a₁＜a₂”是“数列{a_n}是递增数列”的（ ）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件

17. 难度：中等

如图，在下列四个几何体中，它们的三视图（主视图、左视图、俯视图）中有且仅有两个相同，而另一个不同的几何体是（ ）

A．（2）（3）（4）
B．（1）（2）（3）
C．（1）（3）（4）
D．（1）（2）（4）

18. 难度：中等

已知椭圆E：，对于任意实数k，下列直线被椭圆E所截弦长与l：y=kx+1被椭圆E所截得的弦长不可能相等的是（ ）
A．kx+y+k=0
B．kx-y-1=0
C．kx+y-2=0
D．kx+y-k=0

三、解答题

19. 难度：中等

关于x的不等式的解集为（-1，n）．
（1）求实数m、n的值；
（2）若z₁=m+ni，z₂=cosα+isinα，且z₁z₂为纯虚数，求的值．

20. 难度：中等

如图，已知点P在圆柱OO₁的底面圆O上，AB为圆O的直径，圆柱OO₁的表面积为24π，OA=2，∠AOP=120°．
（1）求三棱锥A₁-APB的体积．
（2）求异面直线A₁B与OP所成角的大小；（结果用反三角函数值表示）

21. 难度：中等

已知公比为q（0＜q＜1）的无穷等比数列{a_n}各项的和为9，无穷等比数列{a_n²}各项的和为．
（1）求数列{a_n}的首项a₁和公比q；
（2）对给定的k（k=1，2，3，…，n），设数列T^（k）是首项为a_k，公差为2a_k-1的等差数列，求数列T^（2）的通项公式及前10项的和．

22. 难度：中等

已知函数f（x）=|x|•（a-x），a∈R．
（1）当a=4时，画出函数f（x）的大致图象，并写出其单调递增区间；
（2）若函数f（x）在x∈[0，2]上是单调递减函数，求实数a的取值范围；
（3）若不等式|x|•（a-x）≤6对x∈[0，2]恒成立，求实数a的取值范围．

23. 难度：中等

定义：由椭圆的两个焦点和短轴的一个顶点组成的三角形称为该椭圆的“特征三角形”．如果两个椭圆的“特征三角形”是相似的，则称这两个椭圆是“相似椭圆”，并将三角形的相似比称为椭圆的相似比．已知椭圆．
（1）若椭圆，判断C₂与C₁是否相似？如果相似，求出C₂与C₁的相似比；如果不相似，请说明理由；
（2）写出与椭圆C₁相似且短半轴长为b的椭圆C_b的方程；若在椭圆C_b上存在两点M、N关于直线y=x+1对称，求实数b的取值范围？
（3）如图：直线l与两个“相似椭圆”和分别交于点A，B和点C，D，证明：|AC|=|BD|