2009年上海市奉贤区高考数学二模试卷（理科）（解析版）

一、解答题

1. 难度：中等

方程log₃（x²-10）=1+log₃x的解是    ．

2. 难度：中等

不等式的解集为    ．

3. 难度：中等

已知复数z=-i为纯虚数，则实数a=    ．

4. 难度：中等

在极坐标系中，O是极点，设点，，则三角形OAB的面积为    ．

5. 难度：中等

若的二项展开式中含x³项的系数是80，则实数a的值为    ．

6. 难度：中等

在1，2，3，4，5这五个数字中任取不重复的3个数字组成一个三位数，则组成的三位数是奇数的概率是    ．（用分数表示）

7. 难度：中等

关于函数f（x）=xarcsin2x有下列命题：①f（x）的定义域是R；②f（x）是偶函数；③f（x）在定义域内是增函数；④f（x）的最大值是，最小值是0．其中正确的命题是    ．（写出你所认为正确的所有命题序号）

8. 难度：中等

已知直角三角形的两直角边长分别为3cm和4cm，则以斜边为轴旋转一周所得几何体的表面积为    ．

9. 难度：中等

已知各项均为正数的等比数列{a_n}的首项a₁=1，公比为q，前n项和为S_n，若，则公比为q的取值范围是    ．

10. 难度：中等

设实数x，y满足x²+（y-1）²=1，若对满足条件x，y，不等式+c≥0恒成立，则c的取值范围是    ．

11. 难度：中等

现有31行67列表格一个，每个小格都只填1个数，从左上角开始，第一行依次为1，2，…67；第二行依次为68，69…134；…依次把表格填满．现将此表格的数按另一方式填写，从左上角开始，第一列从上到下依次为1，2…，31；第二列从上到下依次为32，33，…，62；…依次把表格填满．对于上述两种填法，在同一小格里两次填写的数相同，这样的小格在表格中共有    个．

二、选择题

12. 难度：中等

条件p：不等式log₂（x-1）＜1的解；条件q：不等式x²-2x-3＜0的解．则p是q的（ ）
A．充分非必要条件
B．必要非充分条件
C．充要条件
D．非充分非必要条件

13. 难度：中等

如图给出了一个算法流程图，该算法流程图的功能是（ ）

A．求三个数中最大的数
B．求三个数中最小的数
C．按从小到大排列的三个数
D．按从大到小排列的三个数

14. 难度：中等

（理）在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，点E在A₁C₁上，且，则（ ）

A．
B．
C．
D．

15. 难度：中等

设函数f（x）的定义域为D，如果对于任意x₁∈D，存在唯一的x₂∈D使f（x₁）+f（x₂）=c（c为常数）成立，则称函数y=f（x）在D上“与常数c关联”．现有函数：①y=2x；②y=2sinx；③y=log₂^x；④y=2^x，其中满足在其定义域上“与常数4关联”的所有函数是      （ ）
A．①②
B．③④
C．①③④
D．①③

三、解答题

16. 难度：中等

在直三棱柱ABC-ABC中，∠ABC=90°，AB=BC=1．
（1）求异面直线B₁C₁与AC所成的角的大小；
（2）若A₁C与平面ABCS所成角为45°，求三棱锥A₁-ABC的体积．

17. 难度：中等

已知函数．，
（Ⅰ）将f（x）写成Asin（ωx+φ）的形式，并求其图象对称中心的横坐标；
（Ⅱ）如果△ABC的三边a、b、c满足b²=ac，且边b所对的角为x，试求x的范围及此时函数f（x）的值域．

18. 难度：中等

某商场在促销期间规定：商场内所有商品按标价的80%出售，同时，当顾客在该商场内消费满一定金额后，按如下方案获得相应金额的奖券：

消费金额（元）的范围	（200，400）	（400，500）	（500，700）	（700，900）	…
获得奖券的金额（元）	30	60	100	130	…

根据上述促销方法，顾客在该商场购物可以获得双重优惠，例如，购买标价为400元的商品，则消费金额为320元，获得的优惠额为：400×0.2+30=110（元），设购买商品得到的优惠率=，试问：
（1）若购买一件标价为1000元的商品，顾客得到的优惠率是多少？
（2）对于标价在[500，800]（元）内的商品，顾客购买标价为多少元的商品，可得到不小于的优惠率？

19. 难度：中等

已知点集L={（x，y）|y=}，其中=（2x-b，1），=（1，b+1），点列P_n（a_n，b_n）（n∈N⁺）在L中，p₁为L与y轴的交点，数列{a_n}是公差为1的等差数列．
（Ⅰ）求数列{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）若f（n）=，令S_n=f（1）+f（2）+f（3）+…+f（n），试写出S_n关于n的表达式；
（Ⅲ）若f（n）=，给定奇数m（m为常数，m∈N⁺，m＞2）．是否存在k∈N⁺，，使得
f（k+m）=2f（m），若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．

20. 难度：中等

已知：点P与点F（2，0）的距离比它到直线x+4=0的距离小2，若记点P的轨迹为曲线C．
（1）求曲线C的方程．
（2）若直线L与曲线C相交于A、B两点，且OA⊥OB．求证：直线L过定点，并求出该定点的坐标．
（3）试利用所学圆锥曲线知识参照（2）设计一个与直线L过定点有关的数学问题，并解答所提问题．