2011年上海市卢湾区向明中学高考数学三模试卷（文理合卷）（解析版）

一、解答题

1. 难度：中等

方程的解是    ．

2. 难度：中等

已知f（x+1）=2^x-2，那么f^-1（2）的值是    ．

3. 难度：中等

若z_l=a+2i，z₂=3-4i，且为纯虚数，则实数a的值为    ．

4. 难度：中等

用立体几何中的符号表示“点A在直线m上，m在平面α内”是    ．

5. 难度：中等

设等差数列{a_n}的前n项之和为S_n满足S₁₀-S₅=20，那么a₈=    ．

6. 难度：中等

设集合，，则A∩（∁_RB）=    ．

7. 难度：中等

若关于x，y，z的三元一次方程组有唯一组解，则θ的集合是    ．

8. 难度：中等

如图A、B、C是球面三点，且OA、OB、OC两两垂直，若P是球O的大圆的中点，O为球心，则直线AP与OB所成角的大小为    ．

9. 难度：中等

若上的投影为    ．

10. 难度：中等

若实数x，y满足-2≤3x+y≤1且3≤x-y≤5，则2x+y的取值范围是    ．

11. 难度：中等

曲线ρ²（2-cos2θ）=1的焦点的极坐标为    ．

12. 难度：中等

定义：关于x的两个不等式f（x）＜0和g（x）＜0的解集分别为（a，b）和，则称这两个不等式为对偶不等式．如果不等式与不等式2x²+4xsin2θ+1＜0为对偶不等式，且θ∈（0，π），则θ=    ．

13. 难度：中等

若函数对于任意x∈R，都有f（x₁）≤f（x）≤f（x₂），则|x₁-x₂|的最小值为    ．

14. 难度：中等

已知f（x）是以2为周期的偶函数，当x∈[0，1]，f（x）=x，那么在区间[-1，3]内，关于x的方程y=kx+k+1（其中k为不等于1的实数）有四个不同的实根，则k的取值范围是     ．

15. 难度：中等

设函数，点A表示坐标原点，点A_n（n，f（n））（n∈N^*），若向量，θ_n是与的夹角，（其中），设S_n=tanθ₁+tanθ₂+…+tanθ_n，则=    ．

二、选择题

16. 难度：中等

将函数向左平移m个单位（m＞0），所得图象对应的函数为偶函数，则m的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．

17. 难度：中等

在程序框图中，输入f（x）=cosx，则输出的是f₄（x）=-csx（ ）

A．-sin
B．sin
C．cos
D．-cos

18. 难度：中等

函数，x∈[-1，+∞）是增函数的一个充分非必要条件是（ ）
A．a＜1且b＞3
B．a＞-1且b＞1
C．a＞1且b＞-1
D．a＜-2且b＜2

19. 难度：中等

设点P（x，y）是曲线上的点，又点F₁（-4，0），F₂（4，0），下列结论正确的是（ ）
A．|PF₁|+|PF₂|=10
B．|PF₁|+|PF₂|＜10
C．|PF₁|+|PF₂|≤10
D．|PF₁|+|PF₂|＞10

三、解答题

20. 难度：中等

如图，在直-棱柱ABO-A′B′O′中，OO′=4，OA=4，OB=3，∠AOB=90°，D是线段A′B′的中点，P是侧棱BB′上的一点，若OP⊥BD，求OP与底面AOB所成角的大小（结果用反三角函数值表示）

21. 难度：中等

如图所示，在直三棱柱ABO-A₁B₁O₁中，OO₁=4，OA=4，OB=3，∠AOB=90°，D是线段A₁B₁的中点，P是侧棱BB₁上的一点．若OP⊥BD，求三棱锥D-OPB的体积．

22. 难度：中等

已知函数．
（1）试求函数f（x）的定义域，并判断函数f（x）的奇偶性；
（2）已知a是方程f（x）=0的一个实数解，求证：．

23. 难度：中等

某市发行一种电脑彩票，从1到35这35个数中任选7个不同的数作为一注，开奖号码为从35个数中抽出7个不同的数，若购买的一注号码与这7个数字完全相同，即中一等奖；若购买的一注号码中有且仅有6个数与这7个数中的6个数字相同，即中二等奖；若购买的一注号码中有且仅有5个数与这7个数中的5个数字相同，即中三等奖．
（1）随机购买一注彩票中一等奖的概率是多少？随机购买一注彩票能中奖的概率是多少？（结果可以用含组合数的分数表示）
（2）从问题（1）得到启发，试判断组合数C_k^l•C_n-k^m-l与C_n^m的大小关系，并从组合的意义角度加以解释．

24. 难度：中等

某中学在高一开设了4门选修课，每个学生必须且只需选修1门选修课，对于该年级的甲、乙、丙3名学生，回答下列问题；
（1）求这3名学生选择的选修课互不相同的概率；
（2）求恰有2门选修课没有被这3名学生选择的概率；
（3）求这3名学生选择某一选修课的人数分别为0，1，2的概率．

25. 难度：中等

（1）若动点P到定点的距离与到定直线的距离之比为，求证：动点P的轨迹是椭圆；
（2）设（1）中椭圆短轴的上顶点为A，试找出一个以点A为直角顶点的等腰直角△ABC，并使得B、C两点也在椭圆上，并求出△ABC的面积；
（3）对于椭圆（常数a＞1），设椭圆短轴的上顶点为A，试问：以点A为直角顶点，且B、C两点也在椭圆上的等腰直角△ABC有几个？说明理由．

26. 难度：中等

已知无穷数列{a_n}满足a₁=2，数列是各项和等于的无穷等比数列，其中常数b是正整数．
（1）求无穷等比数列的公比和数列{a_n}的通项公式；
（2）在无穷等比数列{b_n}中，b₁=a₁，b₂=a₂，试找出一个b的具体值，使得数列{b_n}的任意项都在数列{a_n}中；试找出一个b的具体值，使得数列{b_n}的项不都在数列{a_n}中，简要说明理由；
（3）对于问题（2）继续进行研究，探究当且仅当b取怎样的值时，数列{b_n}的任意项都在数列{a_n}中，说明理由．