2008年湖北省武汉市高三二月调考数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

复数z满足z=（z+2）i，则z=（ ）
A．1+i
B．-1+i
C．1-i
D．-1-i

2. 难度：中等

在等差数列a_n中，a₃=9，a₉=3，则a₁₂=（ ）
A．-3
B．0
C．3
D．6

3. 难度：中等

二项式（2x⁴-）ⁿ的展开式中含有非零常数项，则正整数n的最小值为（ ）
A．7
B．12
C．14
D．5

4. 难度：中等

函数f（x）=ln（x-x²）的单调递增区间为（ ）
A．（0，1）
B．
C．
D．

5. 难度：中等

下面给出四个命题：
①直线l与平面a内两直线都垂直，则l⊥a．
②经过直线a有且仅有一个平面垂直于直线b；
③过平面a外两点，有且只有一个平面与a垂直．
④直线l同时垂直于平面α、β，则α∥β．
其中正确的命题个数为（ ）
A．3
B．2
C．1
D．0

6. 难度：中等

某一批袋装大米质量服从正态分布N（10，0.01）（单位：kg），任选一袋大米，它的质量在9.8kg～10.2kg内的概率是（ ）
A．1-φ（2）
B．2φ（2）-1
C．F（2）-F（-2）
D．F（2）+F（-2）-1

7. 难度：中等

在（0，2π）内，使sinx≥|cosx|成立的x的取值范围为（ ）
A．[]
B．[]
C．[]
D．[]

8. 难度：中等

已知平面内的四边形ABCD和该平面内任一点P满足：+=+，那么四边形ABCD一定是（ ）
A．梯形
B．菱形
C．矩形
D．正方形

9. 难度：中等

在四面体ABCD中，三组对棱棱长分别相等且依次为，，5则此四面体ABCD的外接球的半径R为（ ）
A．5
B．5
C．
D．4

10. 难度：中等

过原点O作两条相互垂直的直线分别与椭圆P：交于A、C与B、D，则四边形ABCD面积最小值为（ ）
A．
B．4
C．2
D．

二、解答题

11. 难度：中等

如果变量x，y满足，则z=2x+y的最大值为    ．

12. 难度：中等

常数a，b满足=b 则a+b=    ．

13. 难度：中等

从4双不同鞋子中取出4只鞋，其中至少有2只鞋配成一双的取法种数为    ．（将计算的结果用数字作答）

14. 难度：中等

已知圆C：x²+（y-3）²=4，一动直线l过A （-1，O）与圆C相交于P、Q两点，M是PQ中点，l与直线x+3y+6=0相交于N，则|AM|•|AN|=    ．

15. 难度：中等

当0≤x≤1时，恒成立，则a的取值范围是    ．

16. 难度：中等

如图，在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且8a=7b，c=120°，AB边上的高CM长为．
（1）求b：c的值
（3）求△ABC的面积．

17. 难度：中等

如图，在棱长为l的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，M为CC₁中点．
（1）求二面角A₁-BD-M的大小；
（2）求四面体A₁-BDM的体积？

18. 难度：中等

有10张形状、大小相同的卡片，其中2张上写着数字O，另外5张上写着数字1，余下3张上写着数字2．从中随机地取出1张，记下它的数字后放回原处．当这种手续重复进行2次时，ξ为所记下的两个数之和．
（1）求ξ=2时的概率；
（2）求ξ的数学期望．

19. 难度：中等

过双曲线C：的右顶点A作两条斜率分别为k₁、k₂的直线AM、AN交双曲线C于M、N两点，其k₁、k₂满足关系式k_1•k₂=-m²且k₁+k₂≠0，k₁＞k₂
（1）求直线MN的斜率；
（2）当m²=时，若∠MAN=60°，求直线MA、NA的方程．

20. 难度：中等

在数列|a_n|中，a₁=t-1，其中t＞0且t≠1，且满足关系式：a_n+1（a_n+tⁿ-1）=a_n（tⁿ⁺¹-1），（n∈N⁺）
（1）猜想出数列|a_n|的通项公式并用数学归纳法证明之；
（2）求证：a_n+1＞a_n，（n∈N⁺）．

21. 难度：中等

（1）求证：当a≥1时，不等式e^x-x-1≤对于n∈R恒成立．
（2）对于在（0，1）中的任一个常数a，问是否存在x＞0使得e^x-x-1≤成立？如果存在，求出符合条件的一个x；否则说明理由．