2009年上海市嘉定区高考数学二模试卷（文科）（解析版）

一、解答题

1. 难度：中等

设i是虚数单位，则=    ．

2. 难度：中等

若4∈{a²-3a，a}，则a的值等于    ．

3. 难度：中等

函数的反函数是f^-1（x）=    ．

4. 难度：中等

在棱长为2的正方体内放入一个球，则该球表面积的最大值为    ．

5. 难度：中等

函数的值域是    ．

6. 难度：中等

设向量、满足，且，，则与的夹角等于    ．

7. 难度：中等

若（1+2^x）¹⁰的展开式中的第3项为90，则=    ．

8. 难度：中等

若函数f（x）=x²-x+的定义域和值域都为（1，b），则的b值为    ．

9. 难度：中等

如图所示的程序流程图输出I的结果是    ．

10. 难度：中等

在一个袋中装有10个小球，其中有7个白球，3个红球，它们除颜色外，大小、重量等都相同，从袋中取出3个小球，那么取出的球中至少有1个红球的概率等于    ．（结果用分数表示）

11. 难度：中等

设等差数列{a_n}的前n项和为S_n，若S₄≥10，S₅≤15，则a₄的最大值为    ．

12. 难度：中等

直线l过抛物线y²=4x的焦点F，交抛物线于A、B两点，且点A在x轴上方，若直线l的倾斜角，则|FA|的取值范围是    ．

二、选择题

13. 难度：中等

“a＞0”是“函数f（x）=x²+ax在区间（0，+∞）上为增函数”的（ ）
A．充分必要条件
B．充分非必要条件
C．必要非充分条件
D．既非充分又非必要条件

14. 难度：中等

从点P（m，2）向圆（x+3）²+（y+3）²=1引切线，则切线长的最小值为（ ）
A．
B．5
C．
D．3

15. 难度：中等

已知数列{a_n}为等差数列，S_n为其前n项和，且a₆-a₄=4，a₁₁=21，S_k=9，则k的值为（ ）
A．5
B．4
C．3
D．2

16. 难度：中等

定义在（-∞，0）∪（0，+∞）上的奇函数f（x）在（0，+∞）上是减函数，且在x＞0时，f（x）的图象如图所示，则不等式x[f（x）-f（-x）]＞0的解集为（ ）

A．（-∞，-2）∪（0，2）
B．（-∞，-2）∪（2，+∞）
C．（-2，0）∪（2，+∞）
D．（-2，0）∪（0，2）

三、解答题

17. 难度：中等

甲船在A处测得乙船在北偏东60°方向的B处，两船相距5海里，且乙船正沿着南偏东45°方向以每小时14海里的速度航行．经过半小时，甲船在C处追上乙船，问甲船的航行方向是南偏东多少度（精确到1度）？航行的速度是每小时多少海里（精确到1海里）？

18. 难度：中等

图1所示的是一个长方体截去一个角所得多面体的直观图．图2是它的主视图和左视图（单位：cm）．
（1）在主视图下面按照三视图的要求画出该多面体的俯视图；
（2）按照图2给出的尺寸，求该多面体的体积；
（3）在图1中连接B₁C，求异面直线EF和B₁C所成角的大小（结果用反三角函数表示）．

19. 难度：中等

设等比数列{a_n}的首项a₁=1，前n项和为S_n，公比（λ≠-1且λ≠0）．
（1）证明：S_n=（1+λ）-λa_n；
（2）设，数列{b_n}满足b₁=f（1），b_n=f（b_n-1）（n∈N*且n≥2），求数列{b_n}的通项公式及的值．

20. 难度：中等

已知函数f（x）=+cx+d（a，c，d∈R）满足f（0）=0，f'（1）=0，且f'（x）≥0在R上恒成立．
（1）求a，c，d的值；
（2）若，解不等式f'（x）+h（x）＜0；
（3）是否存在实数m，使函数g（x）=f'（x）-mx在区间[m，m+2]上有最小值-5？若存在，请求出实数m的值；若不存在，请说明理由．

21. 难度：中等

已知椭圆（a＞b＞0）满足，且椭圆C₁过点．
（1）求椭圆C₁的方程；
（2）设椭圆C₁的左焦点为F₁，右焦点为F₂，直线l₁过点F₁且垂直于椭圆C₁的长轴，动直线l₂垂直于l₁且与l₁交于点P，线段PF₂的垂直平分线交l₂于点M，求点M的轨迹C₂的方程；
（3）设曲线C₂与x轴交于点Q，C₂上有与Q不重合的不同两点R（x₁，y₁）、S（x₂，y₂），且满足，求点S的横坐标x₂的取值范围．