2009年上海市虹口区高考数学二模试卷（文理合卷）（解析版）

一、解答题

1. 难度：中等

若是纯虚数，则实数a=    ．

2. 难度：中等

函数f （x）=x²-x+的定义域和值域都是[1，a]，（a＞1），则a的取值是    ．

3. 难度：中等

棱长均为a的正四棱锥的体积为    ．

4. 难度：中等

直线x-y+a=0被圆x²+y²=25所截得的弦长为8，则a=    ．

5. 难度：中等

函数y=sinxcos³x-cosxsin³x （0°＜x＜45°）的值域是    ．

6. 难度：中等

若对满足条件x²+（y+1）²=1的x，y，不等式x+y+c≥0恒成立，则实数c的取值范围是    ．

7. 难度：中等

已知，，则=    ．

8. 难度：中等

如图所示算法流程图输出的结果是    ．

9. 难度：中等

（理）极坐标方程表示的圆：ρ=2cosθ-2sinθ的半径长为    ．

10. 难度：中等

（文）已知，则x+2y的最大值为    ．

11. 难度：中等

地球上甲、乙两城市经度均为东经120°，它们的纬度相差60°，地球的半径为R，则甲、乙两城的球面距离为    ．

12. 难度：中等

已知椭圆+=和双曲线-=1有公共焦点，则双曲线的渐近线方程是    ．

13. 难度：中等

定义：区间[a，b]（ a＜b）的长度为b-a．已知函数y=|log_0.5x|的定义域为[a，b]，值域为[0，2]，则区间[a，b]长度的最大是    ．

二、选择题

14. 难度：中等

向量，，满足++=，⊥，||=1，||=2，则||等于（ ）
A．1
B．
C．2
D．

15. 难度：中等

若a＞0，b＞0，a，b的等差中项是，且α=a+，β=b+，则α+β的最小值为（ ）
A．2
B．3
C．4
D．5

16. 难度：中等

a≠b且a²sinθ+acosθ-2=0，b²sinθ+bcosθ-2=0，则连接（a，a²）、（b，b²）两点的直线与圆x²+y²=1的位置关系为（ ）
A．相交
B．相离
C．相切
D．以上均有可能

17. 难度：中等

设等差数列{a_n}的前n项和为S_n，且S₁₅＞0，S₁₆＜0，则中最大的是（ ）
A．
B．
C．
D．

三、解答题

18. 难度：中等

（理科）直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中的底面是等腰直角△，AB=AC=2，∠BAC=90°，棱AA₁=3，若D是BC点．
（1）求证：AD⊥平面BCC₁B₁；
（2）求异面直线DC₁与AB₁所成角的大小．

19. 难度：中等

袋中有形状、质地都相同的黑球、白球和红球共10只，已知从袋中任意摸出一个球，得到黑球的概率为，从袋中任意摸出两个球，至少得到一个白球的概率为．
求（1）从袋中任意摸出两个球，至少得到一个黑球的概率；
（2）袋中白球的个数；
理（3）从袋中任意摸出三个球，记得到白球的个数为ξ，写出随机变量ξ的分布列，并求其数学期望Eξ

20. 难度：中等

已知函数f （x）=
（1）判断f （x）在区间（0，+∞）上的单调性，并证明；
（2）若关于x的方程f （x）=k有根在[2，3]内，求实数k的取值范围；
（3）若关于x的方程f （x）=k x²有四个不同的实数根，求实数k的取值范围．

21. 难度：中等

（1）证明命题：若直线l过抛物线y²=2px （p＞0）的焦点F（，0），交抛物线于AB两点，O为坐标原点，那么•=-p²；
（2）写出第（1）题中命题的逆命题．如其为真，则给出证明； 如其为假，则说明理由；
（3）把第（1）题中命题作推广，使其是你推广的特例，并对你的推广作出证明．

22. 难度：中等

数列{a_n}满足a₁=2，a_n+1=λa_n+2ⁿ（n∈N^*），λ为非零常数
（1）是否存在实数λ，使得数列{a_n}成为等差数列或者成为等比数列，若存在则找出所有的λ，并求出对应的通项公式；若不存在则说明理由；
（2）当λ=1时，记b_n=a_n+×2ⁿ，证明数列{b_n}是等比数列；
（3）求数列{a_n}的通项公式．