2009年上海市虹口区高考数学一模试卷（文理合卷）（解析版）

一、解答题

1. 难度：中等

已知z∈C，且（z+2）（1+i）=2i，则z=    ．

2. 难度：中等

集合A={x|x²-2x-3≤0}，B={x|x≥a}，满足A∩B={3}，则实数a=    ．

3. 难度：中等

球的表面积为16πcm²，则球的体积为    cm³．

4. 难度：中等

{a_n}是等差数列，a₂=-1，a₈=5，则数列{a_n}的前9项和S₉=    ．

5. 难度：中等

θ∈[0，π]，且，则θ=    ．

6. 难度：中等

△ABC中，a=5，b=6，c=7，则abcosC+bccosA+CAcosB=    ．

7. 难度：中等

数列{a_n}中，a₁=1，a_n+1=3a_n+2，则通项a_n=    ．

8. 难度：中等

D为△ABC的BC边的中点，若=p+q，则p+q=    ．

9. 难度：中等

二项展开式中，第    项是常数项．

10. 难度：中等

已知：t为常数，函数y=|x²-2x+t|在区间[0，3]上的最大值为3，则实数t=    ．

11. 难度：中等

若不等式：＞ax+的解集是非空集合{x|4＜x＜m}，则a+m=    ．

12. 难度：中等

正整数集合A_k的最小元素为1，最大元素为2007，并且各元素可以从小到大排成一个公差为k的等差数列，则并集A₁₇∪A₅₉中元素有    个．

二、选择题

13. 难度：中等

右图所示的程序框图中的输出结果是（ ）

A．2
B．4
C．8
D．16

14. 难度：中等

已知：f（x）是R上的奇函数，且满足f（x+4）=f（x），当x∈（0，2）时，f（x）=x+2，则f（7）=（ ）
A．3
B．-3
C．1
D．-1

15. 难度：中等

小球A在右图所示的通道由上到下随机地滑动，最后在下底面的某个出口落出，则一次投放小球，从“出口3”落出的概率为（ ）

A．
B．
C．
D．

16. 难度：中等

在R上定义运算：x*y=x（1-y），若不等式（x-y）*（x+y）＜1对一切实数x恒成立，则实数y的取值范围是（ ）
A．
B．
C．-1＜y＜1
D．0＜y＜2

三、解答题

17. 难度：中等

如图，四棱锥P-ABCD的底面是边长为4的正方形ABCD，侧棱PA垂直于底面，且PA=3．
（1）求直线PC与平面ABCD所成角的大小（结果用反三角函数值表示）
（2）求异面直线PB与CD所成角的大小（结果用反三角函数表示）
（3）求四棱锥P-ABCD的表面积．

18. 难度：中等

已知：．
（1）求：的取值范围；
（2）求：函数f（x）=2sinx+||的最小值．

19. 难度：中等

已知：f（x）=log_ax（0＜a＜1）．若数列{a_n} 使得2，f（a₁），f（a₂），…，f（a_n），2n+4（n∈N^*）成等差数列．
（1）求数列{a_n}的通项；
（2）设b_n=a_nf（a_n），若{b_n}的前n项和为S_n，求S_n．

20. 难度：中等

（1）已知：，求函数f（x）的单调区间和值域；
（2）a≥1，函数g（x）=x³-3a²x-2a，x∈[0，1]，判断函数g（x）的单调性并予以证明；
（3）当a≥1时，上述（1）、（2）小题中的函数f（x）、g（x），若对任意x₁∈[0，1]，总存在x₂∈[0，1]，使得g（x₂）=f（x₁）成立，求a的取值范围．

21. 难度：中等

（1）已知：a，b，x均是正数，且a＞b，求证：；
（2）当a，b，x均是正数，且a＜b，对真分数，给出类似上小题的结论，并予以证明；
（3）证明：△ABC中，（可直接应用第（1）、（2）小题结论）
（4）自己设计一道可直接应用第（1）、（2）小题结论的不等式证明题．