2011年上海普陀区高考数学三模试卷（文理合卷）（解析版）

一、解答题

1. 难度：中等

双曲线的实轴长为    ．

2. 难度：中等

（理）极坐标平面内一点A的极坐标为（3，-4），则点A到极点O的距离|OA|=    ．

3. 难度：中等

二项式（2x-1）⁹的展开式中的第八项为    ．

4. 难度：中等

已知点（2，3）在函数f（x）=x²-a，x∈（1，+∞）的图象上，则f（x）的反函数f^-1（x）=    ．

5. 难度：中等

若行列式的第三行、第三列元素的代数余子式等于-3，则行列式D的值为    ．

6. 难度：中等

在球心为O，体积为的球体表面上两点A、B之间的球面距离为，则∠AOB的大小为    ．

7. 难度：中等

已知无穷等比数列{a_n}的前n项和S_n的极限存在，且a₃=4，S₅-S₂=7，则数列{a_n}各项的和为    ．

8. 难度：中等

若直线（t为参数）与直线4x+ky=1垂直，则常数k=    ．

9. 难度：中等

已知一个圆柱的侧面展开图是一个长和宽分别为3π和π的矩形，则该圆柱的体积是    ．

10. 难度：中等

已知数列{a_n}是等差数列，a₄=15，S₅=55，则过点P（4，a₂₀₁₀）和点Q（3，a₂₀₁₁）的直线的倾斜角是    ．（用反三角函数表示结果）

11. 难度：中等

设抛物线y²=4x上一点P到该抛物线准线与直线l：4x-3y+6=0的距离之和为d，若d取到最小值，则点P的坐标为    ．

12. 难度：中等

（理）设整数m是从不等式x²-2x-8≤0的整数解的集合S中随机抽取的一个元素，记随机变量ξ=m²，则ξ的数学期望Eξ=    ．

13. 难度：中等

（理）已知函数若满足f（a）=f（b）=f（c），（a、b、c互不相等），则a+b+c的取值范围是    ．

14. 难度：中等

把正整数排列成如图甲三角形数阵，然后擦去第偶数行中的奇数和第奇数行中的偶数，得到如图乙的三角形数阵，再把图乙中的数按从小到大的顺序排成一列，得到一个数列{a_n}，若a_n=2011，则n=    ．

二、选择题

15. 难度：中等

设实数a、b、c满足c＜b＜a，且ac＜0，那么下列不等式中不一定成立 的是（ ）
A．ab＞ac
B．c（b-a）＞0
C．cb＜ab
D．ac（a-c）＜0

16. 难度：中等

已知方程x²+2x-a=0，其中a＜0，则在复数范围内关于该方程的根的结论正确的是（ ）
A．该方程一定有一对共轭虚根
B．该方程可能有两个正实根
C．该方程两根的实部之和等于-2
D．若该方程有虚根，则其虚根的模一定小于1

17. 难度：中等

（理） 已知向量，，向量，则向量与的夹角为（ ）
A．φ
B．
C．
D．

18. 难度：中等

已知函数f（x）=a^x+x-b的零点x∈（k，k+1）（k∈Z），且常数a，b分别满足2^a=3，3^b=2，则k=（ ）
A．-1
B．0
C．1
D．2

三、解答题

19. 难度：中等

已知复数满足w-4=（3-2w）i（i为虚数单位），，求复数w、z并且写一个以z为根的实系数一元二次方程．

20. 难度：中等

为了缓解城市道路拥堵的局面，某市拟提高中心城区内占道停车场的收费标准，并实行累进加价收费．已公布的征求意见稿是这么叙述此收费标准的：“（中心城区占道停车场）收费标准为每小时10元，并实行累进加价制度，占道停放1小时后，每小时按加价50%收费．”
方案公布后，这则“累进加价”的算法却在媒体上引发了争议（可查询2010年12月14日的相关国内新闻）．请你用所学的数学知识说明争议的原因，并请按照一辆普通小汽车一天内连续停车14小时测算：根据不同的解释，收费各应为多少元？

21. 难度：中等

（理）如图，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是正方形，PA=AD=2，点E、F、G分别为线段PA、PD和CD的中点．
（1）求异面直线EG与BD所成角的大小；
（2）在线段CD上是否存在一点Q，使得点A到平面EFQ的距离恰为？若存在，求出线段CQ的长；若不存在，请说明理由．

22. 难度：中等

（理）已知函数．
（1）试判断f（x）的奇偶性并给予证明；
（2）求证：f（x）在区间（0，1）单调递减；
（3）右图给出的是与函数f（x）相关的一个程序框图，试构造一个公差不为零的等差数列{a_n}，使得该程序能正常运行且输出的结果恰好为0．请说明你的理由．

23. 难度：中等

如图，已知半径为r的圆M的内接四边形ABCD的对角线AC和BD相互垂直且交点为P．

（1）若四边形ABCD中的一条对角线AC的长度为d（0＜d＜2r），试求：四边形ABCD面积的最大值；
（2）试探究：当点P运动到什么位置时，四边形ABCD的面积取得最大值，最大值为多少？
（3）对于之前小题的研究结论，我们可以将其类比到椭圆的情形．如图2，设平面直角坐标系中，已知椭圆（a＞b＞0）的内接四边形ABCD的对角线AC和BD相互垂直且交于点P．试提出一个由类比获得的猜想，并尝试给予证明或反例否定．