2011年江苏省南通市启东中学高考数学一模试卷（解析版）

一、解答题

1. 难度：中等

若集合，则A∩B等于    ．

2. 难度：中等

设向量a，b满足：，，则|b|=    ．

3. 难度：中等

对a，b∈R，记max{a，b}=函数f（x）=max{|x+1|，|x-2|}（x∈R）的最小值是    ．

4. 难度：中等

设a＞0，a≠1，函数有最大值，则不等式log_a（x²-5x+7）＞0的解集为    ．

5. 难度：中等

已知函数f（x）=2sinωx（ω＞0）在区间上的最小值是-2，则ω的最小值是     ．

6. 难度：中等

已知，，则=    ．

7. 难度：中等

已知||=1，||=，=0，点C在∠AOB内，且∠AOC=30°，设=m+n（m、n∈R），则等于    ．

8. 难度：中等

已知命题，命题q：x²-（2a+1）x+a（a+1）≤0，若¬p是¬q的必要而不充分条件，则实数a的取值范围是    ．

9. 难度：中等

已知圆O的半径为1，PA、PB为该圆的两条切线，A、B为两切点，那么的最小值为    ．

10. 难度：中等

已知函数若f（2-a²）＞f（a），则实数a的取值范围是    ．

11. 难度：中等

已知f（x）=，f（3+2sinθ）＜m²+3m-2对一切θ∈R恒成立，则实数m的取值范围为    ．

12. 难度：中等

将边长为1m正三角形薄片，沿一条平行于底边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记，则S的最小值是    ．

13. 难度：中等

设m，n∈Z，已知函数f（x）=log₂（-|x|+4）的定义域是[m，n]，值域是[0，2]，若关于x的方程2^|1-x|+m+1=0有唯一的实数解，则m+n=    ．

14. 难度：中等

锐角△ABC的三边a，b，c和面积S满足条件，又角C既不是△ABC的最大角也不是△ABC的最小角，则实数k的取值范围是    ．

15. 难度：中等

若集合A={x|log_a（x²-x-2）＞2，a＞0且a≠1}．
（1）若a=2，求集合A；
（2）若，求a的取值范围．

16. 难度：中等

设函数f（x）=cos（2x+）+sin²x．
（1）求函数f（x）的最大值和最小正周期．
（2）设A，B，C为△ABC的三个内角，若cosB=，f（）=-，且C为非钝角，求sinA．

17. 难度：中等

如图，在△OAB中，已知P为线段AB上的一点，．
（1）若，求x，y的值；
（2）若，，，且与的夹角为60°时，求的值．

18. 难度：中等

设函数f（x）是定义域在（0，+∞），且对任意m，n∈（0，+∞）都有f（mn）=f（m）+f（n），f（4）=1，当x＞1时，恒有f（x）＞0
（1）求证：f（x）在（0，+∞）上是增函数
（2）解不等式f（x+6）+f（x）＜2
（3）若∀x∈[4，16]，都有f（x）≤a，求实数a的取值范围

19. 难度：中等

如图，已知△ABC是边长为1的正三角形，M、N分别是边AB、AC上的点，线段MN经过△ABC的中心G，设ÐMGA=a（）
（1）试将△AGM、△AGN的面积（分别记为S₁与S₂）表示为a的函数．
（2）求y=的最大值与最小值．

20. 难度：中等

设函数．
（1）当m=1，x＞1时，求证：f（x）＞0；
（2）若对于，均有f（x）＜2成立，求实数m的取值范围．