2010年上海市闵行区高考数学二模试卷（理科）（解析版）

一、解答题

1. 难度：中等

若（i为虚数单位，a、b∈R），则a+b=    ．

2. 难度：中等

A、B是两个随机事件，P（A）=0.34，P（B）=0.32，P（AB）=0.31，则P（A∪B）=    ．

3. 难度：中等

方程的解为    ．

4. 难度：中等

（2x+1）⁶展开式中x²的系数为    ．

5. 难度：中等

某区有200名学生参加数学竞赛，随机抽取10名学生成绩如表：则总体标准差的估计值是    （精确到0.01）．

成绩	40	50	60	70	80	90
人数	1	1	2	2	1	3

6. 难度：中等

已知球O的半径为R，一平面截球所得的截面面积为4π，球心到该截面的距离为，则球O的体积等于    ．

7. 难度：中等

根据程序框图，写出它所执行的内容：    ．

8. 难度：中等

已知函数f（x）=20×0.618^x-x的零点x∈（k，k+1），k∈Z，则k=    ．

9. 难度：中等

设等差数列{a_n}的前n项之和S_n满足S₁₀-S₅=40，那么a₈=    ．

10. 难度：中等

已知直线l的参数方程是（t是参数），以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为，则圆C的圆心到直线l的距离是    ．

11. 难度：中等

定义：关于x的两个不等式f（x）＜0和g（x）＜0的解集分别为（a，b）和，则称这两个不等式为对偶不等式．如果不等式与不等式2x²+4xsin2θ+1＜0为对偶不等式，且，则θ=    ．

12. 难度：中等

已知5是方程f（x）+x=k（k是实常数）的一个根，f^-1（x）是f（x）的反函数，则方程f^-1（x）+x=k必有一根是    ．

13. 难度：中等

函数在（-2，+∞）上是增函数的一个充分非必要条件是    ．

14. 难度：中等

对于自然数n（n≥2）的正整数次幂，可以如下分解为n个自然数的和的形式：，，…
仿此，k³（k∈N^*，k≥2）的分解中的最大数为    ．

二、选择题

15. 难度：中等

如图，在边长为1的正六边形ABCDEF中，下列向量的数量积中最大的是（ ）

A．
B．
C．
D．

16. 难度：中等

已知△ABC中，，BC=2，则角A的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．

17. 难度：中等

数列{a_n}中，已知a₁=-2，a₂=-1，a₃=1，若对任意正整数n，有a_na_n+1a_n+2a_n+3=a_n+a_n+1+a_n+2+a_n+3，且a_n+1a_n+2a_n+3≠1，则该数列的前2010 项和S₂₀₁₀=（ ）
A．2010
B．-2011
C．-2010
D．-2008

18. 难度：中等

设点P（x，y）是曲线上的点，又点F₁（0，-12），F₂（0，12），下列结论正确的是（ ）
A．|PF₁|+|PF₂|=26
B．|PF₁|+|PF₂|＜26
C．|PF₁|+|PF₂|≤26
D．|PF₁|+|PF₂|＞26

三、解答题

19. 难度：中等

已知函数，．
（1）若，求函数f（x）的值；
（2）求函数f（x）的值域．

20. 难度：中等

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面为直角梯形，AD∥BC，∠BAD=90°，PA⊥底面ABCD，且PA=AD=AB=2BC，M、N分别为PC、PB的中点．
（Ⅰ）求证：PB⊥DM；
（Ⅱ）求BD与平面ADMN所成的角．

21. 难度：中等

某火山喷发停止后，为测量的需要，设距离喷口中心50米内的圆环面为第1区、50米至100米的圆环面为第2区、…、第50（n-1）米至50n米的圆环面为第n区，…，现测得第1区火山灰平均每平方米为1000千克、第2区每平方米的平均重量较第1区减少2%、第3区较第2区又减少2%，以此类推，求：
（1）离火山口1225米处的圆环面平均每平方米火山灰重量（结果精确到1千克）？
（2）第几区内的火山灰总重量最大？

22. 难度：中等

设x₁、x₂∈R，常数a＞0，定义运算“⊕”：x₁⊕x₂=（x₁+x₂）²，定义运算“⊗”：x₁⊗x₂=（x₁-x₂）²；对于两点A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），定义．
（1）若x≥0，求动点P（x，） 的轨迹C；
（2）已知直线与（1）中轨迹C交于A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）两点，若，试求a的值；
（3）在（2）中条件下，若直线l₂不过原点且与y轴交于点S，与x轴交于点T，并且与（1）中轨迹C交于不同的两点P、Q，试求的取值范围．

23. 难度：中等

已知函数f（x）=log₃是f（x）图象上的两点，横坐标为的点P满足2（O为坐标原点）．
（Ⅰ）求证：y₁+y₂为定值；
（Ⅱ）若，其中n∈N^*，且n≥2，求S_n；
（Ⅲ）已知a_n=，其中n∈N^*，T_n为数列{a_n}的前n项和，若T_n＜m（S_n+1+1）对一切n∈N^*都成立，试求m的取值范围．