2008年上海市浦东新区高考数学一模试卷（理科）（解析版）

一、解答题

1. 难度：中等

不等式的解集为    ．

2. 难度：中等

=    ．

3. 难度：中等

方程log₃（x²-10）=1+log₃x的解是    ．

4. 难度：中等

若，则使函数y=x^α的定义域为R且在（-∞，0）上单调递增的α值为    ．

5. 难度：中等

若（1+tgθ）⁸展开式的第4项为7，则sin2θ的值为    ．

6. 难度：中等

△ABC中，∠A=60°，∠B=75°，，则AB=    ．

7. 难度：中等

已知S_n是{a_n}的前n项和，且有S_n=2a_n-1，则数列{a_n}的通项a_n=    ．

8. 难度：中等

在极坐标系中，由极点向直线l引垂线，垂足为点，则直线l的极坐标方程为    ．

9. 难度：中等

已知集合A={12，14，16，18，20}，B={11，13，15，17，19}，在A中任取一个元素用a_i（i=1，2，3，4，5）表示，在B中任取一个元素用b_j（j=1，2，3，4，5）表示，则所取两数满足a_i＞b_I的概率为     ．

10. 难度：中等

若对任意的正实数x成立，则+…=    ．

11. 难度：中等

一次展览会上展出一套由宝石串联制成的工艺品，如图所示、若按照这种规律依次增加一定数量的宝石，则第5件工艺品所用的宝石数为    颗；第n件工艺品所用的宝石数为    颗（结果用n表示）．

二、选择题

12. 难度：中等

已知非零实数a，b满足a＞b，则下列不等式成立的是（ ）
A．a²＞b²
B．
C．a²b＞ab²
D．

13. 难度：中等

函数f（x）=ln|x-1|的图象大致是（ ）
A．
B．
C．
D．

14. 难度：中等

将一根铁丝切割成三段做一个面积为2m²、形状为直角三角形的框架，在下列四种长度的铁丝中，选用最合理（够用且浪费最少）的是（ ）
A．6.5m
B．6.8m
C．7m
D．7.2m

15. 难度：中等

对数列{a_n}，若存在正常数M，使得对任意正整数n，都有|a_n|＜M，则称数列{a_n}是有界数列．下列三个数列：；；中，为有界数列的个数是（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3

三、解答题

16. 难度：中等

已知复数z满足z=（-1+3i）（1-i）-4．
（1）求复数z的共轭复数；
（2）若w=z+ai，且|w|≤|z|，求实数a的取值范围．

17. 难度：中等

已知函数，x∈R，（其中ω＞0）．
（1）求函数f（x）的值域；
（2）若函数f（x）的最小正周期为，则当时，求f（x）的单调递减区间．

18. 难度：中等

某家庭进行理财投资，根据长期收益率市场预测，投资债券等稳健型产品的收益与投资额成正比，投资股票等风险型产品的收益与投资额的算术平方根成正比．已知投资1万元时两类产品的收益分别为0.125万元和0.5万元（如图）．

（1）分别写出两种产品的收益与投资的函数关系；
（2）该家庭现有20万元资金，全部用于理财投资，问：怎样分配资金能使投资获得最大收益，其最大收益为多少万元？

19. 难度：中等

（1）A、B、C为斜三角形ABC的三个内角，tgA+tgB+1=tgAtgB．求角C；
（2）命题：已知A，B，C∈（0，π），若tgA+tgB+tgC=tgAtgBtgC，则A+B+C=π．判断该命题的真假并说明理由．
（说明：试卷中的“tgA”在试点教材中记为“tanA”）

20. 难度：中等

已知二次函数f（x）=x²+x，若不等式f（-x）+f（x）≤2|x|的解集为C．
（1）求集合C；
（2）若方程f（a^x）-a^x+1=5（a＞1）在C上有解，求实数a的取值范围；
（3）已知t≤0，记f（x）在C上的值域为A，若，x∈[0，1]的值域为B，且A⊆B，求实数t的取值范围．

21. 难度：中等

由函数y=f（x）确定数列{a_n}，a_n=f（n），若函数y=f（x）的反函数y=f^-1（x）能确定数列{b_n}，b_n=f^-1（n），则称数列{b_n}是数列{a_n}的“反数列”．
（1）若函数确定数列{a_n}的反数列为{b_n}，求{b_n}的通项公式；
（2）对（1）中{b_n}，不等式对任意的正整数n恒成立，求实数a的取值范围；
（3）设，若数列{c_n}的反数列为{d_n}，{c_n}与{d_n}的公共项组成的数列为{t_n}，求数列{t_n}前n项和S_n．