2009年上海市松江区高考数学二模试卷（理科）（解析版）

一、解答题

1. 难度：中等

设复数z满足z-1=z•i（i是虚数单位），则z=    ．

2. 难度：中等

方程3^2x-3^x+1-4=0的解是x=    ．

3. 难度：中等

已知向量，若向量与垂直，则=    ．

4. 难度：中等

已知函数，g（x）与f（x）的图象关于直线y=x对称，则=    ．

5. 难度：中等

记a为（1-x）ⁿ展开式中x²的系数，且，则实数b=    ．

6. 难度：中等

已知集合A={x||3x-m|＜4，x∈R}，B=N，若A∩B={1，2，3}，则实数m的取值范围是    ．

7. 难度：中等

函数的最大值是    ．

8. 难度：中等

在极坐标系中，曲线ρ=4sinθ和ρcosθ=1相交于点A、B，则|AB|=    ．

9. 难度：中等

一射手对靶射击，直到第一次中靶为止．他每次射击中靶的概率是 0.9，他有3颗弹子，射击结束后尚余子弹数目ξ的数学期望Eξ=    ．

10. 难度：中等

在棱长为a的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，P是C₁B₁的中点，若E，F都是AB上的点，且，Q是A₁B₁上的点，则四面体EFPQ的体积是    ．

11. 难度：中等

给出下面四个命题：
①m=3是直线（m+3）x+my-2=0与直线mx-6y+5=0互相垂直的充要条件；
②m，n是平面α内的两条直线，直线l在平面α外，则l⊥α是l⊥m且l⊥n的充分不必要条件；
③函数a=b=0是f（x）=x²+b|x-a|为偶函数的必要非充分条件；
④三个数成等比数列的既不充分又非必要条件；
其中真命题的序号是    ．（写出所有真命题的序号）

12. 难度：中等

当正三角形的边长为n（n∈N^*）时，图（1）中点的个数为f₃（n）=1+2+3+…+（n+1）=（n+1）（n+2）；当正方形的边长为n时，图（2）中点的个数为f₄（n）=（n+1）²；在计算图（3）中边长为n的正五边形中点的个数f₅（n）时，观察图（4）可得f₅（n）=f₄（n）+f₃（n-1）=（n+1）²+=（n+1）（3n+2）；…．则边长为n的正k边形（k≥3，k∈N）中点的个数f_k（n）=    ．

二、选择题

13. 难度：中等

若直线ax+by+c=0的一个法向量，则这条直线的倾斜角为（ ）
A．
B．
C．
D．不能确定

14. 难度：中等

设f（x）是定义在R上的增函数，又F（x）=f（x）-f（-x），那么F（x）一定是（ ）
A．奇函数，且在（-∞，+∞）上是增函数
B．奇函数，且在（-∞，+∞）上是减函数
C．偶函数，且在（-∞，+∞）上是增函数
D．偶函数，且在（-∞，+∞）上是减函数

15. 难度：中等

已知直线x=2及x=4与函数y=log₃x的图象分别交于A、B两点，与函数y=log₅x的图象分别交于C、D两点，则直线AB与CD（ ）
A．平行
B．相交，且交点在第二象限
C．相交，且交点在第三象限
D．相交，且交点在原点

16. 难度：中等

对于直角坐标平面内任意两点A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），定义它们之间的一种“新距离”：|AB|=|x₂-x₁|+|y₂-y₁|．给出下列三个命题：
①若点C在线段AB上．则|AC|+|BC|=|AB|；
②在△ABC中，若∠C=90°，则|AC|²+|CB|²=|AB|²；
③在△ABC中，|AC|+|CB|＞|AB|．
其中的真命题为（ ）
A．①②③
B．①②
C．①
D．②③

三、解答题

17. 难度：中等

在△ABC中，，．
（Ⅰ）求角C；
（Ⅱ）设，求△ABC的面积．

18. 难度：中等

如图，P、O分别是正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁上、下底面的中心，AB=kAA₁．
（1）当时，求直线PA与平面PBC所成角的大小；
（2）当k取何值时，O在平面PBC内的射影恰好为△PBC的重心？

19. 难度：中等

已知函数f（x）=a•2^x-1+2^-x（a为常数，x∈R）为偶函数．
（1）求a的值；并用定义证明f（x）在[0，+∞）上单调递增；
（2）解不等式：f（2log_ax-1）＞f（log_ax+1）．

20. 难度：中等

对于正整数k，g（k）表示k的最大奇因数，如g（1）=1，g（2）=1，g（3）=3，g（4）=1，…，记f（n）=g（1）+g（2）+g（3）+…+g（2ⁿ），其中n为正整数．
（1）分别计算g（1）+g（3）+g（5）+g（7）；g（1）+g（2）+g（3）+g（4）；g（2）+g（4）+g（6）+g（8）；
（2）求证：当n≥2时，f（n）=4^n-1+f（n-1）；
（3）记a_n=f（n+1）+k（-1）ⁿf（n），当{a_n}为递增数列时，求实数k的范围．

21. 难度：中等

若椭圆E₁：和椭圆E₂：满足，则称这两个椭圆相似，m称为其相似比．
（1）求经过点，且与椭圆相似的椭圆方程；
（2）设过原点的一条射线l分别与（1）中的两个椭圆交于A、B两点（其中点A在线段OB上），
求的最大值和最小值；
（3）对于真命题“过原点的一条射线分别与相似比为2的两个椭圆C₁：和C₂：交于A、B两点，P为线段AB上的一点，若|OA|、|OP|、|OB|成等差数列，则点P的轨迹方程为”．请用推广或类比的方法提出类似的一个真命题，并给予证明．