2009年上海市嘉定区高考数学二模试卷（理科）（解析版）

一、解答题

1. 难度：中等

设i是虚数单位，复数z₁=1-2i，z₂=a+i（a∈R），若z₁•z₂是纯虚数，则a=    ．

2. 难度：中等

若4∈{a²-3a，a}，则a的值等于    ．

3. 难度：中等

函数的反函数是f^-1（x）=    ．

4. 难度：中等

在一个半径为2的球内有一个正方体，该正方体的所有顶点都在球面上，则该正方体的表面积为    ．

5. 难度：中等

函数的值域是    ．

6. 难度：中等

设向量、满足，且，，则与的夹角等于    ．

7. 难度：中等

若（1+2^x）¹⁰的展开式中的第3项为90，则=    ．

8. 难度：中等

在极坐标系中，O是极点，点，，则以线段OA，OB为邻边的平行四边形的面积是    ．

9. 难度：中等

如图所示的程序流程图输出I的结果是    ．

10. 难度：中等

在一个袋中装有10个小球，其中有5个白球，3个红球，2个黑球，它们除颜色外，大小、重量等都相同，从袋中依次取出3个小球（不放回），那么取出的球中含有红球的数学期望Eξ=    ．

11. 难度：中等

直角坐标系中横坐标、纵坐标均为整数的点称为格点，如果函数f（x）的图象恰好通过k（k∈N*）个格点，则称函数f（x）为k阶格点函数．下列函数：
①f（x）=sinx；  ②f（x）=π（x-1）²+3；  ③；  ④f（x）=log_0.6x．其中是一阶格点函数的有    ．

12. 难度：中等

双曲线x²-y²=2的左、右焦点分别为F₁、F₂，点P_n（x_n，y_n）（n∈N*）在双曲线右支上，且满足|P_n+1F₂|=|P_nF₁|，P₁F₂⊥F₁F₂，则|P₂₀₀₉F₁|的值为    ．

二、选择题

13. 难度：中等

“a＞0”是“函数f（x）=x²+ax在区间（0，+∞）上为增函数”的（ ）
A．充分必要条件
B．充分非必要条件
C．必要非充分条件
D．既非充分又非必要条件

14. 难度：中等

直线l过抛物线y²=2px（p＞0）的焦点，且与抛物线交于A、B两点，若线段AB的长是18，AB的中点到y轴的距离为6，则抛物线的方程为（ ）
A．y²=12
B．y²=8
C．y²=6
D．y²=4

15. 难度：中等

已知函数（n∈N*），且a_n=f（n）+f（n+1），则数列{a_n}前100项和S₁₀₀的值为（ ）
A．200
B．100
C．-100
D．0

16. 难度：中等

定义在（-∞，0）∪（0，+∞）上的奇函数f（x）在（0，+∞）上是减函数，且在x＞0时，f（x）的图象如图所示，则不等式x[f（x）-f（-x）]＞0的解集为（ ）

A．（-∞，-2）∪（0，2）
B．（-∞，-2）∪（2，+∞）
C．（-2，0）∪（2，+∞）
D．（-2，0）∪（0，2）

三、解答题

17. 难度：中等

甲船在A处测得乙船在北偏东60°方向的B处，两船相距5海里，且乙船正沿着南偏东45°方向以每小时14海里的速度航行．经过半小时，甲船在C处追上乙船，问甲船的航行方向是南偏东多少度（精确到1度）？航行的速度是每小时多少海里（精确到1海里）？

18. 难度：中等

如图，四面体ABCD中，△ABD和△BCD均为等边三角形，BD=2，O是BD的中点，且AO⊥平面BCD．
（1）求二面角A-BC-D的大小（结果用反三角函数表示）；
（2）求点O到平面ACD的距离．

19. 难度：中等

设等比数列{a_n}的首项a₁=1，前n项和为S_n，公比（λ≠-1且λ≠0）．
（1）证明：S_n=（1+λ）-λa_n；
（2）设函数f（x）满足，，设，求T_n关于n的表达式及的值．

20. 难度：中等

已知函数f（x）=+cx+d（a，c，d∈R）满足f（0）=0，f'（1）=0，且f'（x）≥0在R上恒成立．
（1）求a，c，d的值；
（2）若，解不等式f'（x）+h（x）＜0；
（3）是否存在实数m，使函数g（x）=f'（x）-mx在区间[m，m+2]上有最小值-5？若存在，请求出实数m的值；若不存在，请说明理由．

21. 难度：中等

已知椭圆的离心率为，直线l：y=x+2与以原点为圆心、椭圆C₁的短半轴长为半径的圆相切．
（1）求椭圆C₁的方程；
（2）设椭圆C₁的左焦点为F₁，右焦点为F₂，直线l₁过点F₁且垂直于椭圆的长轴，动直线l₂垂直于直线l₁，垂足为点P，线段PF₂的垂直平分线交l₂于点M，求点M的轨迹C₂的方程；
（3）设C₂与x轴交于点Q，不同的两点R，S在C₂上，且满足，求的取值范围．