2008年上海市宝山区高考数学二模试卷（文科）（解析版）

一、解答题

1. 难度：中等

圆x²+y²+4x+3=0的面积是    ．

2. 难度：中等

方程cos2x+sinx=1，（x∈[0，π]）的解是    ．

3. 难度：中等

已知复数z₁=6+2i，z₂=t+i，且是实数，则实数t=    ．

4. 难度：中等

在△ABC中，已知，则角A的值为    ．

5. 难度：中等

在数列{a_n}中，a₁=2，且满足3a_n+1-a_n=0，则=    ．

6. 难度：中等

已知P是抛物线y²=4x上的动点，F是抛物线的焦点，则线段PF的中点轨迹方程是    ．

7. 难度：中等

双曲线x²-y²=1左支上一点（a，b）到其渐近线y=x的距离是，则a+b的值为    ．

8. 难度：中等

某工序流程图如下，则该工程的总工时数为    ．

9. 难度：中等

在△ABC中，AB=4，AC=3，P是边BC的垂直平分线上的一点，则=    ．

10. 难度：中等

2008年北京奥运会，我国将派5名正式运动员和3名替补运动员参加体操比赛，最终将有3人上场比赛，其中甲、乙两名替补运动员均不上场比赛的概率是    ．

11. 难度：中等

已知0＜k＜4，直线和直线与两坐标轴围成一个四边形，则使这个四边形面积最小的k值是    ．

二、选择题

12. 难度：中等

已知复数z₁=2+i，z₂=1+3i，则复数z=在复平面内所对应的点位于（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限

13. 难度：中等

在用数学归纳法证明（n+1）（n+2）…（n+n）=2ⁿ•1•2•3•…•（2n-1）（n∈N^*）时，从k到k+1，左端需要增加的代数式是（ ）
A．2k+1
B．2（2k+1）
C．
D．

14. 难度：中等

函数f（x）=alnx-bsinx+3有反函数的充要条件是（ ）
A．a=0且b≠0
B．b=0且a≠0
C．a=b=0
D．a=0或b=0

15. 难度：中等

四面体的一条棱长为x，其余棱长均为1，体积为f（x），则函数y=f（x）在其定义域上（ ）

A．是增函数但无最大值
B．是增函数且有最大值
C．不是增函数且无最大值
D．不是增函数但有最大值

三、解答题

16. 难度：中等

已知直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁，底面四边形ABCD是一个直角梯形，上底边长BC=2，下底边长AD=6，直角边所在的腰AB=2，体积V=48．求直线B₁D 与平面ABB₁A₁所成的角α（用反三角函数表示）．

17. 难度：中等

已知A、B、C的坐标分别是A（3，0），B（0，3），C（cosα，sinα ）．
（Ⅰ）若，求角α 的值；
（Ⅱ）若，求 的值．

18. 难度：中等

公园想建一块面积为144平方米的草地，一边靠墙，另外三边用铁丝网围住，现有44米铁丝网可供使用（铁丝网可以剩余），若利用x米墙．
（1）求x的取值范围；
（2）求最少需要多少米铁丝网（精确到0.1米）．

19. 难度：中等

已知二次函数f（x）=ax²+x有最小值，不等式f（x）＜0的解集为A．
（1）求集合A；
（2）设集合B={x||x+4|＜a}，若集合B是集合A的子集，求a的取值范围．

20. 难度：中等

已知椭圆C：（a＞b＞0）的一个焦点到长轴的两个端点的距离分别为．
（1）求椭圆的方程；
（2）若过椭圆的右焦点，倾斜角为的直线交椭圆于A、B两点，求线段AB的长；
（3）如图，过原点相互垂直的两条直线与椭圆的四个交点构成四边形PRSQ，设直线PS的倾斜角为，试问：△PSQ能否为正三角形，若能求θ的值，若不能，说明理由．

21. 难度：中等

已知{a_n}是公差d大于零的等差数列，对某个确定的正整数k，有a₁²+a_k+1²≤M（M是常数）．
（1）若数列{a_n}的各项均为正整数，a₁=2，当k=3时，M=100，写出所有这样数列的前4项；
（2）当k=5，M=100时，对给定的首项，若由已知条件该数列被唯一确定，求数列{a_n}的通项公式；
（3）记S_k=a₁+a₂+…+a_k，对于确定的常数d，当S_k取到最大值时，求数列{a_n}的首项．