2008年上海市宝山区高考数学二模试卷（理科）（解析版）

一、解答题

1. 难度：中等

圆x²+y²+4x+3=0的面积是    ．

2. 难度：中等

方程cos2x+sinx=1，（x∈[0，π]）的解是    ．

3. 难度：中等

若复数z满足（i是虚数单位），则z=    ．

4. 难度：中等

在△ABC中，已知，则角A的值为    ．

5. 难度：中等

若复数数列{z_n}的通项公式是（i是虚数单位），则=    ．

6. 难度：中等

在△ABC中，AB=4，AC=3，P是边BC的垂直平分线上的一点，则=    ．

7. 难度：中等

由展开所得的多项式中，系数为有理数的项共有    项．

8. 难度：中等

在极坐标系中，点（m，）（m＞0）到直线=3的距离为2，则m=    ．

9. 难度：中等

2008年北京奥运会，我国将派5名正式运动员和3名替补运动员参加体操比赛，最终将有3人上场比赛，其中甲、乙两名替补运动员均不上场比赛的概率是    ．

10. 难度：中等

已知椭圆过点（2，1），则a的取值范围是     ．

11. 难度：中等

现有边长为3，4，5的两个三角形纸板和边长为4，5，的两个三角形纸板，用这四个三角形围成一个四面体，则这个四面体的体积是    ．

二、选择题

12. 难度：中等

复数（x∈R，i为虚数单位）在复平面上对应的点不可能位于（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限

13. 难度：中等

在用数学归纳法证明（n+1）（n+2）…（n+n）=2ⁿ•1•2•3•…•（2n-1）（n∈N^*）时，从k到k+1，左端需要增加的代数式是（ ）
A．2k+1
B．2（2k+1）
C．
D．

14. 难度：中等

函数f（x）=alnx-bsinx+3有反函数的充要条件是（ ）
A．a=0且b≠0
B．b=0且a≠0
C．a=b=0
D．a=0或b=0

15. 难度：中等

已知点A（1，2），过点P（5，-2）的直线与抛物线y²=4x相交于B，C两点，则△ABC是（ ）
A．直角三角形
B．钝角三角形
C．锐角三角形
D．不能确定

三、解答题

16. 难度：中等

已知直棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁，底面四边形ABCD是一个直角梯形，上底边长BC=2，下底边长AD=6，直角边所在的腰AB=2，体积V=32．求异面直线B₁D 与AC₁所成的角α（用反三角函数表示）．

17. 难度：中等

已知A、B、C的坐标分别是A（3，0），B（0，3），C（cosα，sinα ）．
（Ⅰ）若，求角α 的值；
（Ⅱ）若，求 的值．

18. 难度：中等

公园想建一块面积为144平方米的草地，一边靠墙，另外三边用铁丝网围住，现有44米铁丝网可供使用（铁丝网可以剩余），若利用x米墙．
（1）求x的取值范围；
（2）求最少需要多少米铁丝网（精确到0.1米）．

19. 难度：中等

已知二次函数f（x）=ax²+x，若对任意x₁、x₂∈R，恒有2f（）≤f（x₁）+f（x₂）成立，不等式f（x）＜0的解集为A．
（1）求集合A；
（2）设集合B={x||x+4|＜α}，若集合B是集合A的子集，求a的取值范围．

20. 难度：中等

已知椭圆C：（a＞b＞0）的一个焦点到长轴的两个端点的距离分别为2+和2-．
（1）求椭圆的方程；
（2）设过定点M（0，2）的直线l与椭圆C交于不同的两点A、B，且∠AOB为锐角（其中O为坐标原点），求直线l的斜率k的取值范围．
（3）如图，过原点O任意作两条互相垂直的直线与椭圆（a＞b＞0）交于P，S，R，Q四点，设原点O到四边形PQSR一边的距离为d，试求d=1时a，b满足的条件．

21. 难度：中等

已知{a_n}是公差d大于零的等差数列，对某个确定的正整数k，有a₁²+a_k+1²≤M（M是常数）．
（1）若数列{a_n}的各项均为正整数，a₁=2，当k=3时，M=100，写出所有这样数列的前4项；
（2）若数列{a_n}的各项均为整数，对给定的常数d，当数列由已知条件被唯一确定时，证明a₁≤0；
（3）求S=a_k+1+a_k+2+…+a_2k+1的最大值及此时数列{a_n}的通项公式．