2009年上海市黄浦区高考数学二模试卷（理科）（解析版）

一、解答题

1. 难度：中等

关于x的方程（2+x）i=2-x（i是虚数单位）的解x=    ．

2. 难度：中等

函数y=f（x）存在反函数，且反函数为f^-1（x）=-1（x≥0），则函数y=f（x）的定义域是     ．

3. 难度：中等

若函数是定义域为R的偶函数，则实数a=    ．

4. 难度：中等

计算：2ⁿ-C_n¹2^n-1+C_n²2^n-2+…+（-1）^rC_n^r2^n-r+…+（-1）ⁿC_nⁿ（n∈N^*）=    ．

5. 难度：中等

已知全集，B={x||x-1|≤1，x∈R}，则（C_RA）∩B=    ．

6. 难度：中等

把圆柱体的侧面沿母线展开后得到一个矩形，若矩形的一组邻边长分别为8π和4π，则该圆柱体的体积是    ．

7. 难度：中等

已知角α的顶点在原点，始边与x轴正半轴重合，点P（-4m，3m）（m＜0）是角α终边上一点，则2sinα+cosα=    ．

8. 难度：中等

已知极点、极轴分别与直角坐标系的原点和x轴正半轴重合，且极坐标系与直角坐标系单位相同，若曲线C的极坐标方程是ρ=8cosθ-6sinθ（θ∈R），则曲线C的直角坐标普通方程是    ．

9. 难度：中等

已知如图程序框图的输出结果是y=3，则输入框中x的所有可能的值为    ．

10. 难度：中等

直线l经过点P（1，1），且与圆：x²+y²-4x+6y-4=0相切，则直线l的方程是    ．

11. 难度：中等

已知等比数列{a_n}的前n项和S_n=3ⁿ-b（n∈N^*），则=    ．

12. 难度：中等

当无理数x=    时，代数式的值是整数．

二、选择题

13. 难度：中等

“直线l上有两点到平面α的距离相等”是“直线l与平面α平行”的（ ）
A．充要条件
B．充分非必要条件
C．必要非充分条件
D．非充分非必要条件

14. 难度：中等

若线性方程组=（ ）
A．1
B．-1
C．±
D．以上都错

15. 难度：中等

△ABC的顶点是A（-4，0）、B（4，0）、C，又C是椭圆=1上异于长轴端点的点，则=（ ）
A．2
B．
C．
D．

16. 难度：中等

设的最小值是（ ）
A．
B．
C．
D．1

三、解答题

17. 难度：中等

在三棱锥P-ABC中，PA⊥PB，PA⊥PC，PB⊥PC，点D、E分别是棱BC、AP的中点．
（1）试用反证法证明直线DE与直线CP是异面直线；
（2）若PA=PB=PC=4，F为棱AB上的点，且，求二面角D-EF-B的大小（结果用反三角函数值表示）．

18. 难度：中等

某实验室新购进10件精密仪器，因运输途中一次意外紧急刹车，导致其中3件仪器有不同程度的破损（变成废品），余下7件完好无损．现从包装箱中一件一件地抽取仪器，假设每件仪器抽到的可能性都相同．
（1）若每次抽出后都不放回，当拿到完好无损仪器时停止抽取，请写出抽取次数ξ的概率分布律（只列表，不要求计算过程）．
（2）求Eξ．

19. 难度：中等

已知，函数的．
（1）求ω的值．
（2）求函数．

20. 难度：中等

已知点P（0，b）是y轴上的动点，点F（1，0）、M（a，0）满足PM⊥PF，动点N满足．
（1）求动点N所在曲线C的方程．
（2）已知点D（1，2）在曲线C上，若曲线C上两点A、B（都不同于D点）满足DA⊥DB，试证明直线AB必过定点，并求出这个定点的坐标．

21. 难度：中等

若数列{a_n}满足a_n+2+pa_n+1+qa_n=0（其中p²+q²≠0，且p、q为常数）对任意n∈N^*都成立，则我们把数列{a_n}称为“L型数列”．
（1）试问等差数列{a_n}、等比数列{b_n}（公比为r）是否为L型数列？若是，写出对应p、q的值；若不是，说明理由．
（2）已知L型数列{a_n}满足a_n+1+pa_n+qa_n-1=0（n≥2，n∈N^*，p²-4q＞0，q≠0），x₁、x₂是方程x²+px+q=0的两根，若b-ax_i≠0（i=1，2），求证：数列{a_n+1-x_ia_n}（i=1，2，n∈N^*）是等比数列（只选其中之一加以证明即可）．
（3）请你提出一个关于L型数列的问题，并加以解决．（本小题将根据所提问题的普适性给予不同的分值，最高10分）