2008年上海市静安区高考数学二模试卷（文理合卷）（解析版）

一、解答题

1. 难度：中等

不等式的解为    ．

2. 难度：中等

若，则z₂=    ．

3. 难度：中等

若集合A={x|x²-2x-3≤0}，B={x|x＞a}，且A∩B=φ，则实数a的取值范围是    ．

4. 难度：中等

方程4^x-2^x+1-3=0的解是    ．

5. 难度：中等

若函数的反函数是y=f^-1（x），则=    ．

6. 难度：中等

若直线ax+by=1与圆x²+y²=1相切，则实数ab的取值范围是    ．

7. 难度：中等

在△ABC中，若∠B=60°，AC=3，AB=，则∠A=    ．

8. 难度：中等

过抛物线焦点F的直线交该抛物线于A、B两点，则线段AB中点的轨迹方程为    ．

9. 难度：中等

已知三棱锥V-ABC，底面是边长为2的正三角形，VA⊥底面△ABC，VA=2，D是VB中点，则异面直线VC、AD所成角的大小为    （用反三角函数表示）．

10. 难度：中等

无穷等比数列{a_n}的首项是某个自然数，公比为单位分数（即形如：的分数，m为正整数），若该数列的各项和为3，则a₁+a₂=    ．

11. 难度：中等

某校一学习小组有6名同学，现从中选2名同学去参加一项活动，至少有1名女生参加的概率为，则该学习小组中的女生有    名．

12. 难度：中等

某校一学习小组有6名同学，现从中选2名同学去参加一项活动，至少有1名女生参加的不同选法有12种，则该学习小组中的女生有    名．

13. 难度：中等

若曲线的参数方程为为参数，0≤θ≤π），则该曲线的普通方程为    ．

14. 难度：中等

若x、y满足，则函数的最大值为    ．

15. 难度：中等

若正方形ABCD边长为1，点P在线段AC上运动，则的取值范围是     ．

二、选择题

16. 难度：中等

对于任意的直线l与平面α，在平面α内必有直线m，使m与l（ ）
A．平行
B．相交
C．垂直
D．互为异面直线

17. 难度：中等

函数f（x）=x²-2ax-3在区间[1，2]上存在反函数的充分必要条件是（ ）
A．a∈（-∞，1]
B．a∈[2，+∞）
C．α∈[1，2]
D．a∈（-∞，1]∪[2，+∞）

18. 难度：中等

设函数f（x）的定义域为R，且f（x）是以3为周期的奇函数，f（1）＞1，f（2）=log_a2（a＞0，且a≠1），则实数a的取值范围是（ ）
A．a＞1
B．0＜a＜1或a＞2
C．
D．0＜a＜1

19. 难度：中等

以S_n，T_n分别表示等差数列{a_n}，{b_n}的前n项和，若，则的值为（ ）
A．7
B．
C．
D．

20. 难度：中等

在极坐标系中，曲线关于（ ）
A．直线轴对称
B．点中心对称
C．直线轴对称
D．极点中心对称

21. 难度：中等

如图，在直三棱柱A₁B₁C₁-ABC中，，AB=AC=A₁A=1，已知G与E分别是棱A₁B₁和CC₁的中点，D与F分别是线段AC与AB上的动点（不包括端点）．若GD⊥EF，则线段DF的长度的取值范围是（ ）

A．[，1）
B．[，2）
C．[1，）
D．[，）

三、解答题

22. 难度：中等

在棱长为2的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，（如图）E是棱C₁D₁的中点，F是侧面AA₁D₁D的中心．
（1）求三棱锥A₁-D₁EF的体积；
（2）求EF与底面A₁B₁C₁D₁所成的角的大小．（结果可用反三角函数表示）

23. 难度：中等

已知复数z₁=2cosθ+i•sinθ，z₂=1-i•（cosθ），其中i是虚数单位，θ∈R．
（1）当cosθ=时，求|z₁•z₂|；
（2）当θ为何值时，z₁=z₂．

24. 难度：中等

设函数F（x）=，其中f（x）=log₂（x²+1），g（x）=log₂（|x|+7）．
（1）在实数集R上用分段函数形式写出函数F（x）的解析式；
（2）求函数F（x）的最小值．

25. 难度：中等

建造一条防洪堤，其断面为等腰梯形，腰与底边成角为60°（如图），考虑到防洪堤坚固性及石块用料等因素，设计其断面面积为平方米，为了使堤的上面与两侧面的水泥用料最省，则断面的外周长（梯形的上底线段BC与两腰长的和）要最小．
（1）求外周长的最小值，此时防洪堤高h为多少米？
（2）如防洪堤的高限制在的范围内，外周长最小为多少米？

26. 难度：中等

（理）已知向量， （n为正整数），函数，设f（x）在（0，+∞）上取最小值时的自变量x取值为a_n．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）已知数列{b_n}，对任意正整数n，都有b_n•（4a_n²-5）=1成立，设S_n为数列{b_n}的前n项和，求；
（3）在点列A₁（1，a₁）、A₂（2，a₂）、A₃（3，a₃）、…、A_n（n，a_n）、…中是否存在两点A_i，A_j（i，j为正整数）使直线A_iA_j的斜率为1？若存在，则求出所有的数对（i，j）；若不存在，请你写出理由．

27. 难度：中等

（文）已知向量， （n为正整数），函数，设f（x）在（0，+∞）上取最小值时的自变量x取值为a_n．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）已知数列{b_n}，其中b_n=a_n+1²-a_n²，设S_n为数列{b_n}的前n项和，求；
（3）已知点列A₁（1，a₁²）、A₂（2，a₂²）、A₃（3，a₃²）、…、A_n（n，a_n²）、…，设过任意两点A_i，A_j（i，j为正整数）的直线斜率为k_ij，当i=2008，j=2010时，求直线A_iA_j的斜率．

28. 难度：中等

（理）在平面直角坐标系xoy中，若在曲线C₁的方程F（x，y）=0中，以（λx，λy）（λ为正实数）代替（x，y）得到曲线C₂的方程F（λx，λy）=0，则称曲线C₁、C₂关于原点“伸缩”，变换（x，y）→（λx，λy）称为“伸缩变换”，λ称为伸缩比．
（1）已知曲线C₁的方程为，伸缩比λ=2，求C₁关于原点“伸缩变换”后所得曲线C₂的方程；
（2）射线l的方程，如果椭圆C₁：经“伸缩变换”后得到椭圆C₂，若射线l与椭圆C₁、C₂分别交于两点A、B，且，求椭圆C₂的方程；
（3）对抛物线C₁：y²=2p₁x，作变换（x，y）→（λ₁x，λ₁y），得抛物线C₂：y²=2p₂x；对C₂作变换（x，y）→（λ₂x，λ₂y）得抛物线C₃：y²=2p₃x，如此进行下去，对抛物线C_n：y²=2p_nx作变换（x，y）→（λ_nx，λ_ny），得抛物线C_n+1：y²=2p_n+1x，…．若，求数列{p_n}的通项公式p_n．

29. 难度：中等

（文）在平面直角坐标系xoy中，若在曲线C₁的方程F（x，y）=0中，以（λx，λy）（λ为正实数）代替（x，y）得到曲线C₂的方程F（λx，λy）=0，则称曲线C₁、C₂关于原点“伸缩”，变换（x，y）→（λx，λy）称为“伸缩变换”，λ称为伸缩比．
（1）已知曲线C₁的方程为，伸缩比λ=2，求C₁关于原点“伸缩变换”后所得曲线C₂的方程；

（2）已知抛物线C₁：y²=2x，经过伸缩变换后得抛物线C₂：y²=32x，求伸缩比λ．
（3）射线l的方程，如果椭圆C₁：经“伸缩变换”后得到椭圆C₂，若射线l与椭圆C₁、C₂分别交于两点A、B，且，求椭圆C₂的方程．