2010年上海市卢湾区高考数学一模试卷（文理合卷）（解析版）

一、解答题

1. 难度：中等

函数f（x）=sin（πx+1）的最小正周期T=    ．

2. 难度：中等

函数的定义域为    ．

3. 难度：中等

若为实数（i为虚数单位），则实数a=    ．

4. 难度：中等

计算：=    ．

5. 难度：中等

某学校共有师生2400人，现用分层抽样的方法，从所有师生中抽取一个容量为160的样本，已知从学生中抽取的人数为150，那么该学校的教师人数是     ．

6. 难度：中等

在二项式的展开式中，若第5项是常数项，则n=    （用数字作答）．

7. 难度：中等

在△ABC中，E为AC上一点，，，，若用向量、表示，则=    ．

8. 难度：中等

如图，程序框图的功能是交换两个变量的值并输出，图中①处应填入    ．

9. 难度：中等

若实数a、b、c、d满足矩阵等式，则行列式的值为    ．

10. 难度：中等

关于x、y的二元一次方程组无解，则m=    ．

11. 难度：中等

已知数列{a_n}共有6项，若其中三项是1，两项是2，一项是3，则满足上述条件的数列共有    个．

12. 难度：中等

若集合，B={y|y=cosx，x∈A}，则A∩B=    ．

13. 难度：中等

若等比数列{a_n}的前n项和为S_n，公比为q，集合M={x|x=，q≠-1，q∈R}，则用列举法表示M=    ．

14. 难度：中等

方程x²-cosx=0的解可视为函数y=cosx的图象与函数y=x²的图象交点的横坐标．方程实数解的个数为     ．

二、选择题

15. 难度：中等

若复数（i为虚数单位），则ω-1等于（ ）
A．ω²
B．ω^-2
C．-ω
D．ω^-1

16. 难度：中等

设函数的反函数为f^-1（x），对于[0，1]内的所有x的值，下列关系式中一定成立的是（ ）
A．f（x）=f^-1（x）
B．f（x）≠f^-1（x）
C．f（x）≤f^-1（x）
D．f（x）≥f^-1（x）

17. 难度：中等

对于函数（n∈N^*），我们可以发现f（n）有许多性质，如：f（2k）=1（k∈N^*）等，下列关于f（n）的性质中一定成立的是（ ）
A．f（n+1）-f（n）=1
B．f（n+k）=f（n）（k∈N^*）
C．α^f（n）=f（n+1）+αf（n）（α≠0）
D．α^f（n+1）=α-（α+1）f（n）（α≠0）

18. 难度：中等

若a，b是实数，则|a-b|＞|b|-|a|成立的充要条件是（ ）
A．
B．
C．a＜b
D．a＞b

三、解答题

19. 难度：中等

在△ABC中，角A，B，C的对边分别为，．
（Ⅰ）求sinC的值；
（Ⅱ）求△ABC的面积．

20. 难度：中等

已知定义在区间[0，2]上的两个函数f（x）和g（x），其中f（x）=x²-2ax+4（a≥1），．
（1）求函数y=f（x）的最小值m（a）；
（2）若对任意x₁、x₂∈[0，2]，f（x₂）＞g（x₁）恒成立，求a的取值范围．

21. 难度：中等

（理）袋中有大小相同的红球和白球若干个，其中红、白球个数的比为4：3．假设从袋中任取2个球，取到的都是红球的概率为．
（1）试问：袋中的红、白球各有多少个？
（2）现从袋中逐次取球，每次从袋中任取1个球，若取到白球，则停止取球，若取到红球，则继续下一次取球．试求：取球不超过3次便停止的概率．

22. 难度：中等

（文）袋中有大小相同的红球和白球若干个，其中红、白球个数的比为4：3．假设从袋中任取2个球，取到的都是红球的概率为．
（1）试问：袋中的红、白球各有多少个？
（2）从袋中任取3个球，若取到一个红球，则记2分，若取到一个白球，则记1分．试求：所取出球的总分不超过5分的概率．

23. 难度：中等

将奇函数的图象关于原点（即（0，0））对称这一性质进行拓广，有下面的结论：
①函数y=f（x）满足f（a+x）+f（a-x）=2b的充要条件是y=f（x）的图象关于点（a，b）成中心对称．
②函数y=f（x）满足F（x）=f（x+a）-f（a）为奇函数的充要条件是y=f（x）的图象关于点（a，f（a））成中心对称（注：若a不属于x的定义域时，则f（a）不存在）．
利用上述结论完成下列各题：
（1）写出函数f（x）=tanx的图象的对称中心的坐标，并加以证明．
（2）已知m（m≠-1）为实数，试问函数的图象是否关于某一点成中心对称？若是，求出对称中心的坐标并说明理由；若不是，请说明理由．
（3）若函数的图象关于点成中心对称，求t的值．

24. 难度：中等

在等差数列{a_n}中，公差为d，前n项和为S_n．在等比数列{b_n}中，公比为q，前n项和为S'_n（n∈N^*）．
（1）在等差数列{a_n}中，已知S₁₀=30，S₂₀=100，求S₃₀．
（2）在等差数列{a_n}中，根据要求完成下列表格，并对①、②式加以证明（其中m、m₁、m₂、n∈N^*）．

用Sm表示S2m	S2m=2Sm+m^2d
用、表示	=______①
用Sm表示Snm	Snm=______②

（3）在下列各题中，任选一题进行解答，不必证明，解答正确得到相应的分数（若选做二题或更多题，则只批阅其中分值最高的一题，其余各题的解答，不管正确与否，一律视为无效，不予批阅）：
（ⅰ） 类比（2）中①式，在等比数列{b_n}中，写出相应的结论．
（ⅱ） （解答本题，最多得5分）类比（2）中②式，在等比数列{b_n}中，写出相应的结论．
（ⅲ） （解答本题，最多得6分）在等差数列{a_n}中，将（2）中的①推广到一般情况．
（ⅳ） （解答本题，最多得6分）在等比数列{b_n}中，将（2）中的①推广到一般情况．