2007年上海市浦东新区高考数学一模试卷（理科）（解析版）

一、解答题

1. 难度：中等

已知A={-1，3，m}，集合B={3，4}，若B⊆A，则实数m=    ．

2. 难度：中等

=    ．

3. 难度：中等

函数f（x）=sinπx的最小正周期是    ．

4. 难度：中等

若（ax-1）⁵的二项展开式中含x³项的系数是80，则实数a的值为    ．

5. 难度：中等

设函数．方程解的个数为    ．

6. 难度：中等

在极坐标系中，O是极点，设点，，则|AB|=    ．

7. 难度：中等

无穷数列{a_n}中，，则a₂+a₄+a₆+…+a_2n+…=    ．

8. 难度：中等

函数y=f（x）的反函数y=f^-1（x）的图象与y轴交于点P（0，2），则方程f（x）=0的根是x=    ．

9. 难度：中等

从1，2，3，4，5，6，7，8中任取三个数，能组成等差数列的概率是    ．

10. 难度：中等

若函数f（x）=x-在（1，+∞）上是增函数，则实数p的取值范围是    ．

11. 难度：中等

数列{a_n}中，a_n=|n-k|+|n+2k|，若对任意的正整数n，a_n≥a₃=a₄都成立，则k的取值范围为    ．

12. 难度：中等

右面是某次测验成绩统计表中的部分数据．

学校	文科均分	理科均分
学校A	101.4	103.2
学校B	101.5	103.4

某甲说：B校文理平均分都比A校高，全体学生的平均分肯定比A校的高．
某乙说：两个学校文理的平均分不一样，全体学生的平均分可以相等．
某丙说：A校全体学生的均分可以比B校的高．
你同意他们的观点吗？我不同意    的观点，请举例    ．

二、选择题

13. 难度：中等

设z是复数，以下命题中错误的是（ ）
A．z为实数的充分必要条件是
B．z为实数的充分必要条件是z²≥0
C．z为纯虚数的充分必要条件是
D．z为纯虚数的充分必要条件是z²＜0

14. 难度：中等

函数y=a^|x+b|，（0＜a＜1，-1＜b＜0）的图象为（ ）
A．
B．
C．
D．

15. 难度：中等

设f（x）是定义在R上的函数．
①若存在x₁，x₂∈R，x₁＜x₂，使f（x₁）＜f（x₂）成立，则函数f（x）在R上单调递增；
②若存在x₁，x₂∈R，x₁＜x₂，使f（x₁）≤f（x₂）成立，则函数f（x）在R上不可能单调递减；
③若存在x₂＞0，对于任意x₁∈R，都有f（x₁）＜f（x₁+x₂）成立，则函数f（x）在R上单调递增；
④对任意x₁，x₂∈R，x₁＜x₂，都有f（x₁）≥f（x₂）成立，则函数f（x）在R上单调递减．
以上命题正确的序号是（ ）
A．①③
B．②③
C．②④
D．②

16. 难度：中等

记数列{a_n}前n项的积为π_n=a₁a₂…a_n，设 T_n=π₁π₂…π_n．若数列，n为正整数，则使 T_n最大的n的值为 （ ）
A．11
B．22
C．25
D．48

三、解答题

17. 难度：中等

已知α为锐角，，β是第四象限角，．
求sin（α+β）的值．

18. 难度：中等

z为一元二次方程x²-2x+2=0的根，且 Imz＜0．
（1）求复数z；
（2）若实数a满足不等式，求a的取值范围．

19. 难度：中等

据市场调查，某种商品一年内每件出厂价在6千元的基础上，按月呈f（x）=Asin（ωx+φ）+B的模型波动（x为月份），已知3月份达到最高价8千元，7月份价格最低为4千元；该商品每件的售价为g（x）（x为月份），且满足g（x）=f（x-2）+2．
（1）分别写出该商品每件的出厂价函数f（x）、售价函数g（x）的解析式；
（2）问哪几个月能盈利？

20. 难度：中等

已知函数f（x）=x²+（2-n）x-2n的图象与x轴正半轴的交点为A（a_n，0），n=1，2，3，…．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）令为正整数），问是否存在非零整数λ，使得对任意正整数n，都有b_n+1＞b_n？若存在，求出λ的值，若不存在，请说明理由．

21. 难度：中等

已知函数．
（1）求f（x）+f（4-x）的值；
（2）猜测函数f（x）的图象具备怎样的对称性，并给出证明；
（3）若函数f（x）的图象与直线x=1，x=3及x轴所围成的封闭图形的面积为S，求S的值．

22. 难度：中等

（1）若等比数列{a_n}的前n项和为S_n=3•2ⁿ+a，求实数a的值；
（2）对于非常数列{a_n}有下面的结论：若数列{a_n}为等比数列，则该数列的前n项和为S_n=Aa_n+B（A，B为常数）．判断它的逆命题是真命题还是假命题，并说明理由．
（3）若数列{a_n}为等差数列，则该数列的前n项和为．对其逆命题进行研究，写出你的结论，并说明理由．