2008年上海市嘉定区高考数学一模试卷（文理合卷）（解析版）

一、解答题

1. 难度：中等

不等式x²＜x的解集是    ．

2. 难度：中等

计算：=    ．

3. 难度：中等

函数f（x）=sin²2x-cos²2x的最小正周期是    ．

4. 难度：中等

函数f（x）=log₂（x+1）（x≥0）的反函数是f^-1（x）=    ．

5. 难度：中等

若复数（i为虚数单位）是纯虚数，则实数m=    ．

6. 难度：中等

若是方程2sin（x+α）=1的解，其中α∈（0，2π），则α=    ．

7. 难度：中等

无穷数列{a_n}中，，则a₂+a₄+…+a_2n+…=    ．

8. 难度：中等

已知直线ax+by+c=0与圆x²+y²=1相交于A、B两点，且|AB|=1，则=    ．

9. 难度：中等

某学习小组共有7名同学，其中男生n名（2≤n≤5），现从中选出2人参加一项调查活动，若至少有一名女生参加的概率为，则n=    ．

10. 难度：中等

函数y=|x|的图象与x轴、定直线x=-1及动直线x=t（t∈[-1，1]）所围成图形（位于两条平行直线x=-1与x=t之间的部分）的面积为S，则S关于t的函数关系式S=f（t）=    ．

11. 难度：中等

设集合A={n|n∈N，1≤n≤500}，在A上定义关于n的函数f（n）=log_（n+1）（n+2），则集合M={k|k=f（1）f（2）…f（n），k∈N}用列举法可表示为    ．

二、选择题

12. 难度：中等

在平面直角坐标系内，直线l₁：x-2ay+1=0和直线l₂：2ax+y-1=0（a∈R）的关系是（ ）
A．互相平行
B．互相垂直
C．关于原点对称
D．关于直线y=-x对称

13. 难度：中等

已知，则f（n+1）-f（n）=（ ）
A．
B．
C．
D．

14. 难度：中等

函数，若f（-4）=f（0），f（-2）=-2，则关于x的方程f（x）=x的解的个数为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4

15. 难度：中等

下列4个命题中，真命题是（ ）
A．如果a＞0且a≠1，那么log_af（x）=log_ag（x）的充要条件是a^f（x）=a^g（x）
B．如果A、B为△ABC的两个内角，那么A＞B的充要条件是sinA＞sinB
C．如果向量与向量均为非零向量，那么
D．函数的最小值为

三、解答题

16. 难度：中等

已知集合A={x||x+3i|≤5，x∈R}，（i为虚数单位），集合，若B⊆A，求实数a的取值范围．

17. 难度：中等

已知向量，，函数．
（1）求函数f（x）的最大值，并求当f（x）取得最大值时x的集合；
（2）当时，求函数f（x）的值域．

18. 难度：中等

统计数据表明，某种型号的大型卡车在匀速行驶中每小时耗油量y（升）关于行驶速度x（千米/小时）的函数解析式可以表示为（0＜x≤120）．已知甲、乙两地相距120千米．
（1）当卡车以60千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？
（2）当卡车以多大的速度匀速行驶，从甲地到乙地耗油最少？最少耗油多少升？

19. 难度：中等

在直角坐标系xOy中，以O为圆心的圆与直线：x-y=4相切
（1）求圆O的方程
（2）圆O与x轴相交于A、B两点，圆内的动点P使|PA|、|PO|、|PB|成等比数列，求的取值范围．

20. 难度：中等

数列{a_n}满足a₁=a，a₂=-a（a＞0），且{a_n}从第二项起是公差为6的等差数列，S_n是{a_n}的前n项和．
（1）当n≥2时，用a与n表示a_n与S_n；
（2）若在S₆与S₇两项中至少有一项是S_n的最小值，试求a的取值范围；
（3）若a为正整数，在（2）的条件下，设S_n取S₆为最小值的概率是p₁，S_n取S₇为最小值的概率是p₂，比较p₁与p₂的大小．

21. 难度：中等

已知函数，m＞0且f（1）=-1．
（1）求实数m的值；
（2）判断函数y=f（x）在区间（-∞，m-1]上的单调性，并用函数单调性的定义证明；
（3）求实数k的取值范围，使得关于x的方程f（x）=kx分别为：
①有且仅有一个实数解；
②有两个不同的实数解；
③有三个不同的实数解．