2006年上海市静安区高考数学一模试卷（文理合卷）（解析版）

一、解答题

1. 难度：中等

等差数列{a_n}的首项a₁=1，a₁+a₂+a₃=12，则{a_n}的公差d=    ．

2. 难度：中等

若在同一坐标系内函数y=f（x）与y=x³的图象关于直线y=x对称，则f（x）=    ．

3. 难度：中等

已知函数f（x）=sin（ωx）•cos（ωx）（ω＞0）（x∈R）的最小正周期为π，则ω=    ．

4. 难度：中等

若，则ϕ=    ．（用反三角函数表示）

5. 难度：中等

袋中有3只白球和a只黑球，从中任取2只，恰好一白一黑的概率为，则a=    ．

6. 难度：中等

如图，正四棱锥S-ABCD的侧棱长是底面边长的2倍，则异面直线SA与BC所成角的大小是    （用反三角函数表示）．

7. 难度：中等

（理）3²⁰⁰⁶-C₂₀₀₆¹•3²⁰⁰⁵+…+C₂₀₀₆²⁰⁰⁴•3²-C₂₀₀₆²⁰⁰⁵•3+1=    ．

8. 难度：中等

某工程的工序流程图如右图所示（工时数单位：天），则工程总时数为    天．

9. 难度：中等

在△ABC中，若∠C=90°，AC=BC=4，则=    ．

10. 难度：中等

在ρABC中，a、b、c 分别为∠A、∠B、∠C的对边，∠A=60°，b=1，c=4，则=    ．

11. 难度：中等

已知函数的定义域为（-∞，+∞），则实数p的取值范围是    ．

12. 难度：中等

心脏跳动时，血压在增加或减小．血压的最大值、最小值分别称为收缩压和舒张压，血压计上的读数就是收缩压和舒张压，读数120/80mmHg为标准值．设某人的血压满足函数式p（t）=110+25sin（160t），其中p（t）为血压（mmHg），t为时间（min）．此人的血压在血压计上的读数为    （mmHg）．

13. 难度：中等

对于正整数n定义一种满足下列性质的运算“∗”：（1）1∗1=2；（2）（n+1）∗1=n∗1+2ⁿ⁺¹．则用含n的代数式表示n∗1=    ．

二、选择题

14. 难度：中等

Rt△ABC的直角边AB在平面α内，顶点C在平面α外，则直角边BC、斜边AC在平面α上的射影与直角边AB组成的图形是（ ）
A．线段或锐角三角形
B．线段与直角三角形
C．线段或钝角三角形
D．线段、锐角三角形、直角三角形或钝角三角形

15. 难度：中等

若函数y=f（x） （x∈R）满足f（x+2）=f（x），且x∈（-1，1]时，f（x）=|x|．则函数y=f（x）的图象与函数y=log₄|x|的图象的交点的个数为（ ）
A．3
B．4
C．6
D．8

16. 难度：中等

已知，且向量与平行，则下列说法正确的是（ ）
A．，向量与方向相反
B．，向量与方向相同
C．，向量与方向相反
D．，向量与方向相同

17. 难度：中等

（理）在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，点E在A₁C₁上，且，则（ ）

A．
B．
C．
D．

18. 难度：中等

（文）变量x、y满足下列条件：则使z=3x+2y的值最小的（x，y）是（ ）
A．（9，2）
B．（6，4）
C．（4.5，3）
D．（3，6）

三、解答题

19. 难度：中等

本题共有2个小题，每1小题满分6分．已知集合A={x|3x²+x-2≥0，x∈R}，．
（1）用区间表示集合A、B；
（2）求A∩B．

20. 难度：中等

已知z₁=4-4sinθ+i，其中i为虚数单位，θ∈R．
（1）求|z₁|的取值范围；
（2）如果z₁和互为共轭复数，求θ．

21. 难度：中等

已知正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为2，点E、F分别在底面正方形的边AB、BC上，且，点G为棱A₁B₁的中点．
（1）在图中画出正方体过三点E、F、G的截面，并保留作图痕迹；
（2）（理）求（1）中的截面与底面ABCD所成锐二面角的大小．
（3）（文）求出直线EC₁与底面ABCD所成角的大小．

22. 难度：中等

已知两个向量=（1+log₂|x|，log₂|x|），=（log₂|x|，t）（x≠0）．
（1）若t=1且，求实数x的值；
（2）对t∈R写出函数f（x）=具备的性质．

23. 难度：中等

为了保护一件珍贵文物，博物馆需要在一种无色玻璃的密封保护罩内充入保护气体．假设博物馆需要支付的总费用由两部分组成：①罩内该种气体的体积比保护罩的容积少0.5立方米，且每立方米气体费用1千元；②需支付一定的保险费用，且支付的保险费用与保护罩容积成反比，当容积为2立方米时，支付的保险费用为8千元．
（1）求博物馆支付总费用y与保护罩容积V之间的函数关系式；
（2）求博物馆支付总费用的最小值；
（3）（理）如果要求保护罩可以选择正四棱锥或者正四棱柱形状，且保护罩底面（不计厚度）正方形边长不得少于1.1米，高规定为2米．当博物馆需支付的总费用不超过8千元时，求保护罩底面积的最小值（结果保留一位小数）．

24. 难度：中等

已知等差数列{a_n}的首项为p，公差为d（d＞0）．对于不同的自然数n，直线x=a_n与x轴和指数函数的图象分别交于点A_n与B_n（如图所示），记B_n的坐标为（a_n，b_n），直角梯形A₁A₂B₂B₁、A₂A₃B₃B₂的面积分别为s₁和s₂，一般地记直角梯形A_nA_n+1B_n+1B_n的面积为s_n．
（1）求证数列{s_n}是公比绝对值小于1的等比数列；
（2）设{a_n}的公差d=1，是否存在这样的正整数n，构成以b_n，b_n+1，b_n+2为边长的三角形？并请说明理由；
（3）（理）设{a_n}的公差d（d＞0）为已知常数，是否存在这样的实数p使得（1）中无穷等比数列{s_n}各项的和S＞2010？并请说明理由．
（4）（文）设{a_n}的公差d=1，是否存在这样的实数p使得（1）中无穷等比数列{s_n}各项的和S＞2010？如果存在，给出一个符合条件的p值；如果不存在，请说明理由．