2010年上海市虹口区高考数学一模试卷（文理合卷）（解析版）

一、解答题

1. 难度：中等

函数的定义域为    ；

2. 难度：中等

若函数是奇函数，则常数a=    ．

3. 难度：中等

偶函数f（x）在[0，+∞）上单调递增，则满足不等式f（2x-1）≤f（3）的x取值范围是    ．

4. 难度：中等

已知：命题p：1≤x≤3；命题，当p是q的充分条件时，实数m的取值范围是    ．

5. 难度：中等

在△ABC中，a=5，sinC=3sinA，则边c=    ．

6. 难度：中等

定义在R上的函数f（x）满足f（x）f（x+5）=3，若f（1）=2，则f（16）=    ．

7. 难度：中等

已知{a_n}是公比为q的等比数列，且a₂，a₄，a₃成等差数列，则q=    ．

8. 难度：中等

等差数列{a_n}的前m项和为S_m，已知：a_n-1+a_n+1-3a_n²=0，S_2n-1=18，则n=    ．

9. 难度：中等

椭圆+=1的焦点为F₁、F₂，点P在椭圆上，若|PF₁|=4，则|PF₂|=    ，∠F₁PF₂的大小为     ．

10. 难度：中等

过抛物线y²=2x的焦点F作倾斜角为45°的直线交抛物线于A，B，则线段AB的长为     ．

11. 难度：中等

α、β是两个不同的平面，m、n是平面α及β之外的两条不同直线，给出四个论断：①m⊥n；②α⊥β；③n⊥β；④m⊥α，以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题：    ．

12. 难度：中等

已知：，，，且，则的最大值是    ．

13. 难度：中等

已知：f（x）=ax+b（a，b∈R），f₁（x）=f（x），f_n+1（x）=f[f_n（x）]（n∈N^*），若f₅（x）=32x-93，则a+b=    ．

14. 难度：中等

定义在R上的函数f（x+2）+f（x）=0，且y=f（x-1）是奇函数，给出下列命题：①函数y=f（x）的最小正周期是2；②函数y=f（x）的图象关于点（-1，0）对称；③函数y=f（x）的图象关于y轴对称．其中真命题是    （填入命题的编号）．

二、选择题

15. 难度：中等

如果函数y=5cos（2x+ϕ）的图象关于点对称，则|ϕ|的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．

16. 难度：中等

设等比数列{a_n}的前n项和为S_n，若，则等于（ ）
A．9
B．
C．
D．4

17. 难度：中等

双曲线的左，右焦点为F₁，F₂，一条渐近线为，点P（3，y）在双曲线上，则等于（ ）
A．64
B．32
C．-64
D．-32

18. 难度：中等

正数等差数列{a_n}，若存在常数t，使得a_2n=ta_n，对一切n∈N^*均成立，则t可能取的值是（ ）
A．1
B．2
C．1或2
D．1或3

三、解答题

19. 难度：中等

如图，正四棱锥V-ABCD的高和底面的边长均相等，E是棱VB的中点．
（1）求证：AC⊥VD；
（2）（文科）求：异面直线CE和VD的夹角大小；
     （理科）求：二面角E-AC-B的大小．

20. 难度：中等

已知：椭圆和双曲线．过椭圆C₁的右焦点F₂作与椭圆长轴垂直的直线与椭圆相交于P，Q两点，|PQ|=3．
（1）求椭圆C₁的方程；
（2）若以椭圆右顶点A为圆心，|AF₂|为半径的圆与双曲线C₂的渐近线相切，求双曲线的方程．

21. 难度：中等

已知：向量，，．
（1）当时，求函数f（x）的最大值和最小值；
（2）若对任意的，不等式f²（x）-mf（x）-2m+5＞0恒成立，求实数m的取值范围．

22. 难度：中等

（1）定义：若数列{d_n}满足d_n+1=d_n²，则称{d_n}为“平方递推数列”．已知：数列{a_n}中，a₁=2，a_n+1=2a_n²+2a_n．
①求证：数列{2a_n+1}是“平方递推数列”；
②求证：数列{lg（2a_n+1）}是等比数列；
③求数列{a_n}的通项公式．
（2）已知：数列{b_n}中，b₁=1，b_n+1=p²b_n³+3pb_n²+3b_n（p＞0），求：数列{b_n}的通项．

23. 难度：中等

已知函数f（x）=ax²+bx+c（a，b，c为实数，a≠0），定义域D：[-1，1]
（1）当a=1，b=-1时，若函数f（x）在定义域内恒小于零，求c的取值范围；
（2）当a=1，常数b＜0时，若函数f（x）在定义域内恒不为零，求c的取值范围；
（3）当b＞2a＞0时，在D上是否存在x，使得|f（x）|＞b成立？（要求写出推理过程）