2007年上海市徐汇区零陵中学高三3月综合练习数学试卷（五）（解析版）

一、解答题

1. 难度：中等

计算：（1+i）²=    ．

2. 难度：中等

已知函数的最小正周期为3π，则ω=    ．

3. 难度：中等

已知：，，是两个互相垂直的单位向量，若，则k=    ．

4. 难度：中等

=    ．

5. 难度：中等

已知集合A={x|x²-4x+3＜0}，B={x|y=lg（x-2）}，则A∩B=    ．

6. 难度：中等

（x+1）⁴的展开式中x³的系数是    ．

7. 难度：中等

已知，则的最大值是    ．

8. 难度：中等

将参数方程（θ为参数，θ∈R）化为普通方程，所得方程是    ．

9. 难度：中等

某工程由下列工序组成：

工序	a	b	c	d	e	f	g
紧前工序	/	/	a	b	b	e	c，d，f
工时数（天）	2	3	3	1	5	1	7

总工时数为    天．

10. 难度：中等

从4名男生和3名女生中选出4人参加某个座谈会，若这4人中必须既有男生又有女生的概率为    ．

11. 难度：中等

以点（2，1）为焦点，y轴为准线的抛物线方程为    ．

12. 难度：中等

抛物线y=4x²的焦点坐标是    ．

13. 难度：中等

已知函数y=f（x）的反函数，则方程f（x）=1的解是    ．

14. 难度：中等

某厂生产的产品外形为正方体，棱长为1cm，现设计一种长方体形纸箱做为包装，要求每个长方体形纸箱恰好装12件正方体形产品，则长方体形纸箱的表面积的值是    cm²（只需写出一个可能的值）．

15. 难度：中等

数列{a_n}中，a₁=a，a_n+1=a^a_n，0＜a＜1，则在{a_n}的前2006项中，最大的项是第    项．

二、选择题

16. 难度：中等

函数（ ）
A．是奇函数但不是偶函数
B．是偶函数但不是奇函数
C．既是奇函数又是偶函数
D．既不是奇函数又不是偶函数

17. 难度：中等

已知复数，若复数z满足条件（|z₂|+z）z₁=1，则z=（ ）
A．5+2i
B．5-2i
C．-5+2i
D．-5-2i

18. 难度：中等

已知数列{a_n}，那么“对任意的n∈N^*，点P_n（n，a_n）都在直线y=2x+1上”是“{a_n}为等差数列”的（ ）
A．必要而不充分条件
B．充分而不必要条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件

19. 难度：中等

已知正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁，侧面ABB₁A₁内一动点P到侧棱B₁C₁的距离与点P到底面ABCD的距离相等，则动点P的轨迹为（ ）
A．线段
B．圆
C．一段圆弧
D．一段抛物线

三、解答题

20. 难度：中等

△ABC中，已知|AB|=3，|BC|=2，且A，B，C成等差数列，求△ABC的面积S_△ABC及|AC|．

21. 难度：中等

已知函数f（x）=x²-2ax+a的定义域为（1，+∞），且存在最小值-2；（1）求实数a的值；（2）令，求函数y=g（x）的最值．

22. 难度：中等

在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=AC=1，∠BAC=90°，且异面直线A₁B与B₁C₁所成的角等于60°，设AA₁=a．
（1）求a的值；
（2）求直线B₁C₁到平面A₁BC的距离．

23. 难度：中等

为减少世博中心区域内的环境污染，有关部门决定，从2006年开始停止办理世博中心区域内摩托车入户手续．此时该区域内居民摩托车拥有量已达1.6万辆．据测算，每7辆摩托车排放污染物总量等于一辆公交车排放的污染物，而每辆摩托车的运送能力是一辆公交车运送能力的4%．若从2006年年初起n年内退役部分摩托车，第一年退役a万辆，以后每年退役的摩托车数量是上一年的80%，同时增加公交车的数量，使新增公交车的运送能力等于退役摩托车原有的运送能力．
（1）求n年内新增公交车的总量S_n（万辆）；
（2）要求到2010年年初，剩余摩托车与新增公交车排放污染物的总量不超过原有1.6万辆摩托车排放污染物总量的一半，假定每辆摩托车排放污染物数量为b，问第一年至少退役摩托车多少万辆？（精确到0.01）

24. 难度：中等

已知曲线C：x²-y|y|=1（|x|≤4）．
（1）画出曲线C的图象，
（2）（文）若直线l：y=x+m与曲线C有两个公共点，求m的取值范围；
（理）若直线l：y=kx-1与曲线C有两个公共点，求k的取值范围；
（3）若P（0，p）（p＞0），Q为曲线C上的点，求|PQ|的最小值．

25. 难度：中等

（1）已知函数f（x）=a^x-x（a＞1）．
①若f（3）＜0，试求a的取值范围；
②写出一组数a，x（x≠3，保留4位有效数字），使得f（x）＜0成立；
（2）在曲线上存在两个不同点关于直线y=x对称，求出其坐标；若曲线（p≠0）上存在两个不同点关于直线y=x对称，求实数p的范围；
（3）当0＜a＜1时，就函数y=a^x与y=log_ax的图象的交点情况提出你的问题，并取及加以研究．当0＜a＜1时，就函数y=a^x与y=log_ax的图象的交点情况提出你的问题，并加以解决．（说明：①函数f（x）=xlnx有如下性质：在区间上单调递减，在区间上单调递增．解题过程中可以利用；②将根据提出和解决问题的不同层次区别给分．）