2009年上海市浦东新区高考数学二模试卷（文理合卷）（解析版）

一、解答题

1. 难度：中等

不等式的解集为    ．

2. 难度：中等

若A（4，1），，，且，则x=    ．

3. 难度：中等

根据右边的框图，通过所打印数列的递推关系，可写出这个数列的第3项是    ．

4. 难度：中等

已知实数x和纯虚数y满足：（2x-1）+（3-y）i=y-i，（i为虚数单位），则x=    ．

5. 难度：中等

如果圆锥的侧面展开图是半圆，那么这个圆锥的顶角（圆锥轴截面中两条母线的夹角）是    ．

6. 难度：中等

某赛车场的路线中有A，B，C，D四个维修站如图所示．若维修站之间有路线直接连接（不经过其它维修站），则记为1；若没有直接路线连接，则记为0（A与A，B与B，C与C，D与D记0），现用矩阵表示这些维修站间路线连接情况为    ．

7. 难度：中等

一个圆锥和一个半球有公共底面，如果圆锥的体积恰好与半球的体积相等，那么这个圆锥轴截面顶角的余弦值是    ．

8. 难度：中等

（文科）已知，，，则向量与的夹角为    ．

9. 难度：中等

（理科）某计算机程序每运行一次都随机出现一个二进制的三位数N=n₁n₂n₃，其中N的各位数字中，n₁=1，n_k（k=2，3）出现0的概率为，出现1的概率为，记ξ=n₁+n₂+n₃，当该计算机程序运行一次时，随机变量ξ的数学期望是    ．

10. 难度：中等

如图，，与的夹角为120°，与的夹角为30°，，，，若=，则λ+μ=    ．

11. 难度：中等

半径为1的球面上的四点A、B、C、D是正四面体的顶点，则A与B两点间的球面距离为    ．

12. 难度：中等

（文）某几何体的一条棱长为，在该几何体的正视图和俯视图中，这条棱的投影是长为和的线段，在该几何体的侧视图中，这条棱的投影长为    ．

13. 难度：中等

设OABC是四面体，G₁是△ABC的重心，G是OG₁上一点，且OG=3GG₁，若=x+y+z，则（x，y，z）为    ．

二、选择题

14. 难度：中等

下列所给的四个命题中，不是真命题的为（ ）
A．两个共轭复数的模相等
B．z∈R
C．|z₁|=|z₂|⇔z₁=±z₂
D．

15. 难度：中等

命题甲：实数x，y满足x²+y²≤4；命题乙：实数x，y满足x²+y²≤2x，则命题甲是命题乙的 （ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件

16. 难度：中等

（文）一个几何体是由若干个相同的正方体组成的，其主视图和左视图如图所示，则组成这个几何体的正方体的个数最多有（ ）

A．12个
B．13个
C．14个
D．18个

17. 难度：中等

已知长方形的四个项点A（0，0），B（2，0），C（2，1）和D（0，1），一质点从AB的中点P沿与AB夹角为θ的方向射到BC上的点P₁后，依次反射到CD．DA和AB上的点P₂．P₃和P₄（入射角等于反射角），设P₄坐标为（x₄，0），若1＜x₄＜2，则tanθ的取值范围是（ ）
A．（，1）
B．（，）
C．（，）
D．（，）

18. 难度：中等

一位同学对三元一次方程组（其中实系数a_i，b_i，c_i（i=1，2，3）不全为零）的解的情况进行研究后得到下列结论：
结论1：当D=0，且D_x=D_y=D_z=0时，方程组有无穷多解；
结论2：当D=0，且D_x，D_y，D_z都不为零时，方程组有无穷多解；
结论3：当D=0，且D_x=D_y=D_z=0时，方程组无解．
但是上述结论均不正确．下面给出的方程组可以作为结论1、2和3的反例依次为（ ）
（1）；  （2）；  （3）．
A．（1）（2）（3）
B．（1）（3）（2）
C．（2）（1）（3）
D．（3）（2）（1）

三、解答题

19. 难度：中等

在△ABC中，A、B、C所对的边分别为a、b、c已知，且，求△ABC的面积．

20. 难度：中等

（文）已知P（x，y）是抛物线y²=-8x的准线与双曲线的两条渐近线所围成的三角形平面区域内（含边界）的任意一点，求z=2x-y的最大值．

21. 难度：中等

（理）假设某射击运动员的命中概率与距离的平方成反比．当他人在距离100米处射击一个移动目标时，命中概率为0.9，如果第一次射击未命中，则他进行第二次射击时，距离为150米；如果仍然未命中，则他进行第三次射击时，距离为200米．
（1）求该运动员在第二次和第三次命中目标的概率．
（2）求该运动员命中目标的概率．

22. 难度：中等

某地消费券近日在上海引起领券“热潮”．甲、乙、丙三位市民顾客分别获得一些景区门票的折扣消费券，数量如表1．已知这些景区原价和折扣价如表2（单位：元）．
（1）按照上述表格的行列次序分别写出这三位市民获得的折扣消费券数量矩阵A和三个景区的门票折扣后价格矩阵B；
（2）利用你所学的矩阵知识，计算三位市民各获得多少元折扣？
（3）计算在对这3位市民在该次促消活动中，景区与原来相比共损失多少元？

23. 难度：中等

已知，若过定点、以（λ∈R）为法向量的直线l₁与过点以为法向量的直线l₂相交于动点P．
（1）求直线l₁和l₂的方程；
（2）求直线l₁和l₂的斜率之积k₁k₂的值，并证明必存在两个定点E，F，使得恒为定值；
（3）在（2）的条件下，若M，N是上的两个动点，且，试问当|MN|取最小值时，向量与是否平行，并说明理由．

24. 难度：中等

设，其中a_ik（1≤i≤n，1≤k≤n）表示该数阵中位于第i行第k列的数，已知该数阵每一行的数成等差数列，每一列的数成公比为2的等比数列，且a₂₃=8，a₃₄=20．
（1）求a₁₁和a_ik；
（2）设数阵第i行的公差为d_i（i=1，2，…，n），f（n）=d₁+d₂+…+d_n，求f（n）；
（3）设A_n=a_1n+a_2（n-1）+a_3（n-2）+…+a_n1，证明：当n是3的倍数时，A_n+n能被21整除．