2010年上海市闸北区高考数学一模试卷（文科）（解析版）

一、解答题

1. 难度：中等

若f（x）=3^x，则f^-1（x）=    ．

2. 难度：中等

若 ，则x=    ．

3. 难度：中等

若指数函数f（x）的图象经过点，则f（-1）的值为    ．

4. 难度：中等

（x²+）⁶的展开式中常数项是    ．（用数字作答）

5. 难度：中等

若=，且，则与夹角为    ．

6. 难度：中等

某货轮在A处看灯塔S在北偏东30°方向，它向正北方向航行24海里到达B处，看灯塔S在北偏东75°方向．则此时货轮到灯塔S的距离为    海里．

7. 难度：中等

一个与球心距离为1的平面截球所得的圆面面积为π，则该球的表面积是    ．

8. 难度：中等

不等式|x-1|+|x+1|≥4^a对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围为    ．

9. 难度：中等

若b₁=1，对于任何n∈N^*，都有b_n＞0，且nb_n+1²-2b_n²-（2n-1）b_n+1b_n=0．则log₂b₂₀₁₀=    ．

10. 难度：中等

方程组共有    组解．

11. 难度：中等

已知等比数列{a_n}中，a₂=1，则其前三项和S₃的取值范围是    ．

二、选择题

12. 难度：中等

等于（ ）
A．
B．
C．1
D．2

13. 难度：中等

若tanα=4，，则tan（α+β）=（ ）
A．-
B．
C．-
D．

14. 难度：中等

设a，b是两条直线，α，β是两个平面，则a⊥b的一个充分条件是（ ）
A．a⊥α，b∥β，α⊥β
B．a⊥α，b⊥β，α∥β
C．a⊂α，b⊥β，α∥β
D．a⊂α，b∥β，α⊥β

15. 难度：中等

设A是整数集的一个非空子集，对于k∈A，如果k-1∉A且k+1∉A，那么k是A的一个“孤立元”，给定A={1，2，3，4，5}，则A的所有子集中，只有一个“孤立元”的集合共有（ ）
A．10个
B．11个
C．12个
D．13个

三、解答题

16. 难度：中等

已知复数z₁满足（1+i）z₁=3+i，复数z满足．
（1）求复数z；
（2）设z是关于x的实系数方程x²-px+q=0的一个根，求p、q的值．

17. 难度：中等

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是菱形，PA⊥平面ABCD，AB=1，PA•AC=1，∠ABC=θ（0°＜θ≤90°）．
（1）若θ=90°，E为PC的中点，求异面直线PA与BE所成角的大小；
（2）试求四棱锥P-ABCD的体积V的最小值．

18. 难度：中等

设，，其中a为非零实常数．
（1）若，，求x；
（2）试讨论函数g（x）在R上的奇偶性与单调性，并证明你的结论．

19. 难度：中等

一校办服装厂花费2万元购买某品牌运动装的生产与销售权．根据以往经验，每生产1百套这种品牌运动装的成本为1万元，每生产x （百套）的销售额R（x） （万元）满足：R（x）=
（1）该服装厂生产750套此种品牌运动装可获得利润多少万元？
（2）该服装厂生产多少套此种品牌运动装利润最大？此时，利润是多少万元？

20. 难度：中等

记数列{a_n}的前n项和为S_n，所有奇数项之和为S′，所有偶数项之和为S″．
（1）若{a_n}是等差数列，项数n为偶数，首项a₁=1，公差，且S″-S′=15，求S_n；
（2）若无穷数列{a_n}满足条件：①（n∈N^*），②S′=S″．求{a_n}的通项；
（3）若{a_n}是等差数列，首项a₁＞0，公差d∈N^*，且S′=36，S″=27，请写出所有满足条件的数列．