2010年上海市浦东新区高考数学一模试卷（理科）（解析版）

一、解答题

1. 难度：中等

已知集合A={x||x|＜1}，B={x|-2＜x＜0}，则A∩B=    ．

2. 难度：中等

若，则x+y=    ．

3. 难度：中等

不等式的解集为    ．

4. 难度：中等

已知，θ∈（0，π），则tanθ=    ．

5. 难度：中等

已知函数，则=    ．

6. 难度：中等

函数y=2sinxcosx-2sin²x的最小正周期为    ．

7. 难度：中等

二项式（1-2x）⁷的展开式中，含x³项的系数为    ．

8. 难度：中等

从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，则所选3人中至少有1名女生的概率是     ．

9. 难度：中等

如图“杨辉三角形”，从左上角开始的4个元素构成的二阶行列式 的值等于1；从左上角开始的9个元素构成的三阶行列式 的值也等于1；猜想从左上角开始的16个元素构成的四阶行列式 的值等于_________．

10. 难度：中等

若多面体的各个顶点都在同一球面上，则称这个多面体内接于球．如图，设长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁内接于球O，且AB=BC=2，，则A、B两点之间的球面距离为    ．

11. 难度：中等

若a、b是正数，则的最小值为    ．

12. 难度：中等

已知数列{a_n}是等比数列，其前n项和为S_n，若S₃=18，S₄-a₁=-9，则=    ．

13. 难度：中等

在△ABC中，AB=2，AC=3，D是边BC的中点，则=    ．

14. 难度：中等

已知f（x）是定义在[-4，4]上的奇函数，．当x∈[-2，0）∪（0，2]时，，则方程的解的个数为    ．

二、选择题

15. 难度：中等

条件甲：函数f（x）满足；条件乙：函数f（x）是偶函数，则甲是乙的（ ）
A．充分非必要条件
B．必要非充分条件
C．充要条件
D．既非充分也非必要条件

16. 难度：中等

下列命题正确个数为（ ）
①三点确定一个平面；
②若一条直线垂直于平面内的无数条直线，则该直线与平面垂直；
③同时垂直于一条直线的两条直线平行；
④底面边长为2，侧棱长为的正四棱锥的表面积为12．
A．0
B．1
C．2
D．3

17. 难度：中等

如图，是一程序框图，则输出结果为（ ）

A．
B．
C．
D．

18. 难度：中等

已知D是△ABC边BC延长线上一点，记．若关于x的方程2sin²x-（λ+1）sinx+1=0在[0，2π）上恰有两解，则实数λ的取值范围是（ ）
A．λ＜-2
B．λ＜-4
C．
D．λ＜-4或

三、解答题

19. 难度：中等

设复数z₁满足（1-i）z₁=1+3i，z₂=a-i（a∈R），（其中i为虚数单位）．若 ，求实数a的取值范围．

20. 难度：中等

如图，已知PA⊥平面ABC，AC⊥AB，AP=BC=2，∠CBA=30°，D，E分别是BC，AP的中点．
（1）求异面直线AC与ED所成的角的大小；
（2）求△PDE绕直线PA旋转一周所构成的旋转体的体积．

21. 难度：中等

如图，某污水处理厂要在一个矩形污水处理池（ABCD）的池底水平铺设污水净化管道（Rt△FHE，H是直角顶点）来处理污水，管道越长，污水净化效果越好．设计要求管道的接口H是AB的中点，E，F分别落在线段BC，AD上．已知AB=20米，米，记∠BHE=θ．
（1）试将污水净化管道的长度L表示为θ的函数，并写出定义域；
（2）若，求此时管道的长度L；
（3）当θ取何值时，污水净化效果最好？并求出此时管道的长度．

22. 难度：中等

对于函数f₁（x），f₂（x），h（x），如果存在实数a，b使得h（x）=a•f₁（x）+b•f₂（x），那么称h（x）为f₁（x），f₂（x）的生成函数．
（1）下面给出两组函数，h（x）是否分别为f₁（x），f₂（x）的生成函数？并说明理由．
第一组：；
第二组：f₁（x）=x²-x，f₂（x）=x²+x+1，h（x）=x²-x+1．
（2）设，生成函数h（x）．若不等式h（4x）+t•h（2x）＜0在x∈[2，4]上有解，求实数t的取值范围．
（3）设，取a＞0，b＞0生成函数h（x）图象的最低点坐标为（2，8）．若对于任意正实数x₁，x₂且x₁+x₂=1，试问是否存在最大的常数m，使h（x₁）h（x₂）≥m恒成立？如果存在，求出这个m的值；如果不存在，请说明理由．

23. 难度：中等

已知数列{a_n}是首项a₁=a，公差为2的等差数列；数列{b_n}满足2b_n=（n+1）a_n．
（1）若a₁、a₃、a₄成等比数列，求数列{a_n}的通项公式；
（2）若对任意n∈N^*都有b_n≥b₅成立，求实数a的取值范围；
（3）数列{c_n}满足 ，其中c₁=1，；f（n）=b_n-|c_n|，当-16≤a≤-14时，求f（n）的最小值（n∈N^*）．