2009-2010年上海市华东师大二附中高三数学综合练习试卷（08）（解析版）

一、解答题

1. 难度：中等

设n为正整数，规定：，已知．
（1）解不等式：f（x）≤x；
（2）设集合A={0，1，2}，对任意x∈A，证明：f₃（x）=x；
（3）探求；
（4）若集合B={x|f₁₂（x）=x，x∈[0，2]}，证明：B中至少包含有8个元素．

2. 难度：中等

函数y=2^x的反函数是     ．

3. 难度：中等

复数z满足（1+2i）z=5，则z=    ．

4. 难度：中等

方程实数解的个数为    ．

5. 难度：中等

不等式的解集是    ．

6. 难度：中等

已知sinαcosα＜0，点P（x，y）是角α终边上的点，且，则tanα=    ．

7. 难度：中等

某地自行车的牌照号码由六个数字组成，号码中每个数字可以是0到9这十个数字中的任一个．那么某人的一辆自行车牌照号码中六个数字中5恰好出现两次的概率是    （精确到0.0001）．

8. 难度：中等

在三角形ABC中，，则A=    ．

9. 难度：中等

在无穷等比数列{a_n}中，等于    ．

10. 难度：中等

已知z₁，z₂为复数，（3+i）z₁为实数，且，则z₂=    ．

11. 难度：中等

对长为800m、宽为600m的一块长方形地面进行绿化，要求四周种花卉，花卉带的宽度相等，中间种草，并且种草的面积不小于总面积的一半，则花卉带的宽度范围为    （用区间表示）．

12. 难度：中等

如果f（x）是定义在（-3，3）上的奇函数，且当0≤x＜3时，f（x）的图象如图所示．则不等式f（x）•cosx＜0的解是    ．

13. 难度：中等

公差为d（d≠0）的等差数列{a_n}中，S_n是{a_n}的前n项和，则数列S₂₀-S₁₀，S₃₀-S₂₀，S₄₀-S₃₀也成等差数列，且公差为100d，类比上述结论，相应地在公比为q（q≠1）的等比数列{b_n}中，若T_n是数列{b_n}的前n项积，则有    ．

二、选择题

14. 难度：中等

若P={y|y=x²，x∈R}，Q={y|y=x²+1，x∈R}，则P∩Q等于（ ）
A．P
B．Q
C．Φ
D．无法计算

15. 难度：中等

与函数y=10^lg（x-1）的图象相同的函数是（ ）
A．y=x-1
B．y=|x-1|
C．
D．

16. 难度：中等

以下有四个命题：
①一个等差数列{a_n}中，若存在a_k+1＞a_k＞O（k∈N），则对于任意自然数n＞k，都有a_n＞0；
②一个等比数列{a_n}中，若存在a_k＜0，a_k+1＜O（k∈N），则对于任意n∈N，都有a_n＜0；
③一个等差数列{a_n}中，若存在a_k＜0，a_k+1＜0（k∈N），则对于任意n∈N，都有a_n＜O；
④一个等比数列{a_n}中，若存在自然数k，使a_k•a_k+1＜0，则对于任意n∈N，都有a_n．a_n+1＜0；
其中正确命题的个数是（ ）
A．0个
B．1个
C．2个
D．3个

17. 难度：中等

已知f（x）在x∈[a，b]上的最大值为M，最小值为m，给出下列五个命题：
①若对任何x∈[a，b]都有p≤f（x），则p的取值范围是（-∞，m]；
②若对任何x∈[a，b]都有p≤f（x），则p的取值范围是（-∞，M]；
③若关于x的方程p=f（x）在区间[a，b]上有解，则p的取值范围是[m，M]；
④若关于x的不等式p≤f（x）在区间[a，b]上有解，则p的取值范围是（-∞，m]；
⑤若关于x的不等式p≤f（x）在区间[a，b]上有解，则p的取值范围是（-∞，M]；
其中正确命题的个数为（ ）
A．4个
B．3个
C．2个
D．1个

三、解答题

18. 难度：中等

已知f（x）=-3x²+a（6-a）x+b．
（1）解关于a的不等式f（1）＞0；
（2）当不等式f（x）＞0的解集为（-1，3）时，求实数a，b的值．

19. 难度：中等

已知方程x²-kx+100=0，k∈C．
（1）若1+i是它的一个根，求k的值；
（2）若k∈N*，求满足方程的所有虚数的和．

20. 难度：中等

关于x的方程x²+xsin2θ-sinθcotθ=0的两根为α，β，且0＜θ＜2π，若数列，的前100项和为0，求θ的值．

21. 难度：中等

某港口水深y（米）是时间t（0≤t≤24，单位：小时）的函数，记作y=f（t），下面是某日水深的数据：

t（小时）		3	6	9	12	15	18	21	24
y（米）	10.0	13.0	9.9	7.0	10.0	13.0	10.1	7.0	10.0

经长期观察：y=f（t）的曲线可近似看成函数y=Asinωt+b的图象（A＞0，ω＞0）．
（1）求函数y=f（t）的近似表达式；
（2）一般情况下，船舶航行时，船底离海底的距离为5米或5米以上时认为是安全的．某船吃水深度（船底离水面的距离）为6.5米，如果该船希望在同一天内安全进出港，请问：它至多能在港内停留多长时间？

22. 难度：中等

已知等差数列{a_n}中，公差d＞0，其前n项和为S_n，且满足a₂•a₃=45，a₁+a₄=14．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）通过构造一个新的数列{b_n}，是否存在一个非零常数c，使{b_n}也为等差数列；
（3）求的最大值．