2010年上海市宝山区高考数学一模试卷（文理合卷）（解析版）

一、解答题

1. 难度：中等

若复数对应的点在第四象限，则实数t的取值范围是    ．

2. 难度：中等

若圆x²+y²+2x-6y+m=0与直线3x+4y+1=0相切，则实数m=    ．

3. 难度：中等

已知三元一次方程组，则D_y的值是    ．

4. 难度：中等

有10件产品分三个等次，其中一等品4件，二等品3件，三等品3件，从10件产品中任取2件，则取出的2件产品同等次的概率为    ．

5. 难度：中等

已知等差数列{a_n}的公差不为零，首项a₁=1，a₂是a₁和a₅的等比中项，则数列{a_n}的前10项之和是    ．

6. 难度：中等

某抛物线形拱桥的跨度为20米，拱高是4米，在建桥时，每隔4米需用一根柱支撑，其中最高支柱的高度是    ．

7. 难度：中等

已知向量经过矩阵变换后得到向量，若向量与向量关于直线y=x对称，则a+b=    ．

8. 难度：中等

已知二项式展开式的前三项系数成等差数列，则a=    ．

9. 难度：中等

已知 a+3i（a∈R）是一元二次方程x²-4x+t=0的一个根，则实数t=    ．

10. 难度：中等

方程sin4x=sin2x在（0，π）上的解集是    ．

11. 难度：中等

按如图所示的程序框图运算，若输出k=2，则输入x的取值范围是    ．

12. 难度：中等

已知f（x）是定义在R上的奇函数，又是周期为2的周期函数，当x∈[0，1）时，f（x）=2^x-1，则f（log_0.56）的值为    ．

13. 难度：中等

已知一圆锥的底面半径与一球的半径相等，且全面积也相等，则圆锥的母线与底面所成角的大小为    ．（结果用反三角函数值表示）

14. 难度：中等

对于各数互不相等的正数数组（i₁，i₂，…，i_n）（n是不小于2的正整数），如果在p＜q时有i_p＞i_q，则称i_p与i_q是该数组的一个“逆序”，一个数组中所有“逆序”的个数称为此数组的“逆序数”． 例如，数组（2，4，3，1）中有逆序“2，1”，“4，3”，“4，1”，“3，1”，其“逆序数”等于4． 若各数互不相等的正数数组（a₁，a₂，a₃，a₄）的“逆序数”是2，则（a₄，a₃，a₂，a₁）的“逆序数”是    ．

二、选择题

15. 难度：中等

以下四个命题中的假命题是（ ）
A．“直线a、b是异面直线”的必要不充分条件是“直线a、b不相交”
B．直线“a⊥b”的充分不必要条件是“a垂直于b所在的平面”
C．两直线“a∥b”的充要条件是“直线a，b与同一平面α所成角相等”
D．“直线a∥平面α”的必要不充分条件是“直线a平行于平面α内的一条直线”

16. 难度：中等

已知，为不共线的非零向量，且||=||，则以下四个向量中模最小者为（ ）
A．
B．
C．
D．

17. 难度：中等

已知：圆C的方程为f（x，y）=0，点p（x，x）不在圆C上，也不在圆C的圆心上，方程C'：f（x，y）-f（x，y）=0，则下面判断正确的是（ ）
A．方程C'表示的曲线不存在
B．方程C'表示与C同心且半径不同的圆
C．方程C'表示与C相交的圆
D．当点P在圆C外时，方程C'表示与C相离的圆

18. 难度：中等

幂函数y=x^-1，及直线y=x，y=1，x=1将直角坐标系第一象限分成八个“卦限”：Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ，Ⅴ，Ⅵ，Ⅶ，Ⅷ（如图所示），那么，幂函数的图象在第一象限中经过的“卦限”是…（ ）

A．Ⅳ，Ⅶ
B．Ⅳ，Ⅷ
C．Ⅲ，Ⅷ
D．Ⅲ，Ⅶ

三、解答题

19. 难度：中等

在正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，已知底面ABCD的边长为2，点P是CC₁的中点，直线AP与平面BCC₁B₁成30°角，求异面直线BC₁和AP所成角的大小．（结果用反三角函数值表示）

20. 难度：中等

已知函数．，
（Ⅰ）将f（x）写成Asin（ωx+φ）的形式，并求其图象对称中心的横坐标；
（Ⅱ）如果△ABC的三边a、b、c满足b²=ac，且边b所对的角为x，试求x的范围及此时函数f（x）的值域．

21. 难度：中等

已知函数f（x）=3^x+k（k为常数），A（-2k，2）是函数y=f^-1（x）图象上的点．
（1）求实数k的值及函数f^-1（x）的解析式；
（2）将y=f^-1（x）的图象按向量a=（3，0）平移，得到函数y=g（x）的图象，若2 f^-1（x+-3）-g（x）≥1恒成立，试求实数m的取值范围．

22. 难度：中等

已知点F₁，F₂是双曲线M：的左右焦点，其渐近线为，且右顶点到左焦点的距离为3．
（1）求双曲线M的方程；
（2）过F₂的直线l与M相交于A、B两点，直线l的法向量为，且，求k的值；
（3）在（2）的条件下，若双曲线M在第四象限的部分存在一点C满足，求m的值及△ABC的面积S_△ABC．

23. 难度：中等

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，a₁=1，3a_n+1+4S_n=3（n为正整数）．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）记S=a₁+a₂+…+a_n+…，若对任意正整数n，kS＜S_n恒成立，求k的取值范围？
（3）已知集合A={x|x²+a≤（a+1）x，a＞0}，若以a为首项，a为公比的等比数列前n项和记为T_n，问是否存在实数a使得对于任意的n∈N^*，均有T_n∈A．若存在，求出a的取值范围；若不存在，说明理由．