2010年上海市黄浦区高考数学一模试卷（文科）（解析版）

一、解答题

1. 难度：中等

已知函数y=f^-1（x）的图象上，则实数a=    ．

2. 难度：中等

已知a、b∈R，非零向量平行，则a、b满足的条件是    ．

3. 难度：中等

不等式的解集是    ．

4. 难度：中等

角α的顶点在原点，始边与x轴正半轴重合，点P（-1，3）是角α终边上一点，则cos2α=    ．

5. 难度：中等

方程的解集是    ．

6. 难度：中等

方程log₃（9^x-4）=x+1的解x=    ．

7. 难度：中等

若f（n）=1+2+3+…+n（n∈N^*），则=    ．

8. 难度：中等

    ．

9. 难度：中等

下面是用行列式解二元一次方程组的程序框图，请在图中（1）、（2）、（3）处分别填上合适的指令．

10. 难度：中等

已知点（x，y）位于线性约束条件所表示的区域内（包括边界），则目标函数z=2x+y的最大值是    ．

11. 难度：中等

如图所示，点A、B是单位圆（圆心在原点，半径为1的圆）上两点，OA、OB与x轴正半轴所成的角分别为α和-β．，，用两种方法计算后，利用等量代换可以得到的等式是    ．

12. 难度：中等

在△ABC中，AC=3cm，BC=4cm，AB=5cm，现以BC边所在的直线为轴把△ABC（及其内部）旋转一周后，所得几何体的全面积是    cm²．

13. 难度：中等

掷一枚质地均匀的硬币可能出现图案向上，也可能出现文字向上．现将一枚质地均匀的硬币连续掷3次，记A表示“3次中出现2次图案向上”的事件，则P（A）=    ．

14. 难度：中等

给出下列4个命题，其中正确命题的序号是    ．
（1）在大量的试验中，事件A出现的频率可作为事件A出现的概率的估计值；
（2）样本标准差可作为总体标准差的点估计值；
（3）随机抽样就是使得总体中每一个个体都有同样的可能性被选入样本的一种抽样方法；
（4）分层抽样就是把总体分成若干部分，然后在每个部分指定某些个体作为样本的一种抽样方法．

二、选择题

15. 难度：中等

已知a、x∈R，且a≠0，则“x∈{-a，a}”是“|x|=a”成立的（ ）
A．充要条件
B．充分非必要条件
C．必要非充分条件
D．非充分非必要条件

16. 难度：中等

定义两种运算的解析式是（ ）
A．f（x）=，x∈（-2，2）
B．f（x）=-，x∈（-2，2）
C．f（x）=，x∈（-∞，-2）∪（2，+∞）
D．f（x）=-，x∈（-∞，-2）∪（2，+∞）

17. 难度：中等

在空间中，给出下列4个命题（其中a、b、c表示直线，β表示平面），则正确命题的序号是（ ）
（1）三个点确定一个平面；
（2）若a∥c，b∥c，则a∥b；
（3）在空间中，若角θ₁与角θ₂的两边分别平行，则θ₁=θ₂；
（4）若a⊥b，a⊥c，b、c⊂β，则α⊥β．
A．（1）、（2）、（4）
B．（2）
C．（2）、（3）
D．（2）、（3）、（4）

18. 难度：中等

如图所示，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，∠DAB=∠ABC=90°，若PA⊥平面ABCD，且左视图投影平面与平面PAB平行，则下列选项中可能是四棱锥P-ABCD左视图的是（ ）

A．
B．
C．
D．

三、解答题

19. 难度：中等

如图所示，ABCD-A₁B₁C₁D₁是棱长为a的正方体，M是棱A₁B₁的中点，N是棱A₁D₁的中点．
（1）求异面直线AN与BM所成角的正弦值；
（2）求三棱锥M-DBB₁的体积．

20. 难度：中等

在△ABC中，A＞B＞C，且A=2C，b=4，a²-c²=，求a、c的值．

21. 难度：中等

已知a、b是正整数，函数的图象经过点（1，3）．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）判断函数f（x）在（-1，0]上的单调性，并用单调性定义证明你的结论．

22. 难度：中等

某生产旅游纪念品的工厂，拟在2010年度将进行系列促销活动．经市场调查和测算，该纪念品的年销售量x万件与年促销费用t万元之间满足3-x与t+1成反比例．若不搞促销活动，纪念品的年销售量只有1万件．已知工厂2010年生产纪念品的固定投资为3万元，每生产1万件纪念品另外需要投资32万元．当工厂把每件纪念品的售价定为：“年平均每件生产成本的150%”与“年平均每件所占促销费一半”之和时，则当年的产量和销量相等．（利润=收入-生产成本-促销费用）
（1）求出x与t所满足的关系式；
（2）请把该工厂2010年的年利润y万元表示成促销费t万元的函数；
（3）试问：当2010年的促销费投入多少万元时，该工厂的年利润最大？

23. 难度：中等

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且a₁=1，a₂=3，2S_n-（n+1）a_n=An+B（其中A、B是常数，n∈N^*）．
（1）求A、B的值；
（2）求证数列是等差数列，并求数列{a_n}的通项公式a_n；
（3）已知k是正整数，不等式8a_n+1-a_n²＜k对n∈N^*都成立，求k的最小值．