2009年上海市黄浦区高考数学一模试卷（理科）（解析版）

一、解答题

1. 难度：中等

线性方程组的增广矩阵是    ．

2. 难度：中等

α：与整数的差为的数；β：整数的．若=，则A    B所以α是β的    条件．

3. 难度：中等

已知集合A={x|x²-5x+6＞0，x∈R}，B={x||x-2a|≤2，x∈R}，若A∪B=R，则实数a的取值范围是     ．

4. 难度：中等

方程的解x=    ．

5. 难度：中等

三角方程2sinx+1=0的解集是    ．

6. 难度：中等

已知复数z满足z+i=1-iz（i是虚数单位），则z=    ．

7. 难度：中等

若圆锥的底面半径和高都是2，则圆锥的侧面积是    ．

8. 难度：中等

掷两颗骰子得两数，则事件“两数之和大于4”的概率为    ．

9. 难度：中等

若用样本数据1、0、-1、2、1、3来估计总体的标准差，则总体的标准差点估计值是    ．

10. 难度：中等

若球的体积是，则球的表面积是    m²．

11. 难度：中等

函数y=f（x）是定义域为R的奇函数，当x＜0时，，则函数的解析式f（x）=    ．（结果用分段函数表示）

12. 难度：中等

若a、b∈R，且4≤a²+b²≤9，则a²-ab+b²的最大值与最小值之和是    ．

二、选择题

13. 难度：中等

A={sinα，cosα，1}，B={sin²α，sinα+cosα，0}，且A=B，则sin²⁰⁰⁹α+cos²⁰⁰⁹α=（ ）
A．0
B．1
C．-1
D．±1

14. 难度：中等

给出下列命题：
（1）三点确定一个平面；
（2）在空间中，过直线外一点只能作一条直线与该直线平行；
（3）若平面α上有不共线的三点到平面β的距离相等，则α∥β；
（4）若直线a、b、c满足a⊥b、a⊥c，则b∥c．
其中正确命题的个数是（ ）
A．0个
B．1个
C．2个
D．3个

15. 难度：中等

的二项展开式中，有理项共有（ ）
A．2项
B．3项
C．4项
D．5项

16. 难度：中等

已知数列{a_n}满足，记M为下列程序框图的输出结果，则行列式中元素-1的代数余子式的值是（ ）

A．2
B．-2
C．
D．

三、解答题

17. 难度：中等

在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=2a，BC=BB₁=a，B₁C与BC₁交于O点．
（1）求异面直线AB₁与BC₁所成角的大小（结果用反三角函数值表示）；
（2）求证：B₁O⊥平面ABC₁D₁；（3）求二面角B₁-AD₁-O的大小（结果用反三角函数值表示）．

18. 难度：中等

（理科）△ABC中，已知，边，设∠B=x，△ABC的周长为y．
（1）求函数y=f（x）的解析式，并写出函数的定义域；
（2）求函数y=f（x）的值域．

19. 难度：中等

某城市上年度电价为0.80元/千瓦时，年用电量为a千瓦时．本年度计划将电价降到0.55元/千瓦时～0.75元/千瓦时之间，而居民用户期望电价为0.40元/千瓦时（该市电力成本价为0.30元/千瓦时）经测算，下调电价后，该城市新增用电量与实际电价和用户期望电价之差成反比，比例系数为0.2a．试问当地电价最低为多少时，可保证电力部门的收益比上年度至少增加20%．

20. 难度：中等

已知函数的图象关于直线y=x对称．
（1）求实数b的值；
（2）设A、B是函数图象上两个不同的定点，记向量，试证明对于函数图象所在的平面里任一向量，都存在唯一的实数λ₁、λ₂，使得成立．

21. 难度：中等

已知数列{a_n}满足a₁=a（a为常数，a∈R），a_n+1=2ⁿ-3a_n（n∈N^*），设b_n=（n∈N^*）．
（1）求数列{b_n}所满足的递推公式；
（2）求常数c、q使得b_n+1-c=q（b_n-c）对一切n∈N^*恒成立；
（3）求数列{a_n}通项公式，并讨论：是否存在常数a，使得数列{a_n}为递增数列？若存在，求出所有这样的常数a；若不存在，说明理由．