2009年上海市闸北区高考数学二模试卷（理科）（解析版）

一、解答题

1. 难度：中等

函数的定义域为    ．

2. 难度：中等

若，则tan2α的值为    ．

3. 难度：中等

增广矩阵为的线性方程组的解用向量的坐标形式可表示为    ．

4. 难度：中等

若（2x-1）⁹展开式的第9项的值为12，则=    ．

5. 难度：中等

已知向量和的夹角为120°，，且，则=    ．

6. 难度：中等

在极坐标系中，定点，点B在曲线ρ=2COSθ上运动，当线段AB最短时，点B的极坐标是    ．

7. 难度：中等

设圆C与双曲线的渐近线相切，且圆心是双曲线的右焦点，则圆C的标准方程是    ．

8. 难度：中等

方程的实数解的个数为    ．

9. 难度：中等

如图是一个跨度和高都为2米的半椭圆形拱门，则能通过该拱门的正方形玻璃板（厚度不计）的面积范围用开区间表示是    ．

10. 难度：中等

设a，b∈R，且a²-ab+b²=a+b，则a+b的取值范围为    ．

二、选择题

11. 难度：中等

已知复数z=1-i，则=（ ）
A．2i
B．-2i
C．2
D．-2

12. 难度：中等

过点A（1，-2），且与向量平行的直线的方程是（ ）
A．4x-3y-10=0
B．4x+3y+10=0
C．3x+4y+5=0
D．3x-4y+5=0

13. 难度：中等

在△ABC中，设a、b、c分别是∠A、∠B、∠C所对的边长，且满足条件c=2，b=2a，则△ABC面积的最大值为（ ）
A．1
B．
C．
D．2

三、解答题

14. 难度：中等

如图，在四棱锥O-ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，OA⊥底面ABCD，OA=2，M为OA的中点．
（Ⅰ）求异面直线OC与MD所成角的大小；
（Ⅱ）求点M到平面OCD的距离．

15. 难度：中等

一种填数字彩票2元一张，购买者在卡上依次填上0～9中的两个数字（允许重复）．中奖规则如下：
如果购买者所填的两个数字依次与开奖的两个有序数字分别对应相等，则中一等奖10元；
如果购买者所填的两个数字中，只有第二个数字与开奖的第二个数字相等，则中二等奖2元；
其他情况均无奖金．
（Ⅰ）小明和小辉在没有商量的情况下各买一张这种彩票，求他俩都中一等奖的概率；
（Ⅱ）设“购买一张这种彩票中一等奖”为事件A，“购买一张这种彩票中二等奖”为事件B，请指出事件A∪B的含义，并求事件A∪B发生的概率；
（Ⅲ）设购买一张这种彩票的收益为随机变量ξ，求ξ的数学期望．

16. 难度：中等

设，其中实常数a≥-1．
（Ⅰ）求函数f（x）的定义域和值域；
（Ⅱ）试研究函数f（x）的基本性质，并证明你的结论．

17. 难度：中等

将数列{a_n}中的所有项按第一行排3项，以下每一行比上一行多一项的规则排成如下数表：
记表中的第一列数a₁，a₄，a₈，…，构成数列{b_n}．
（Ⅰ）设b₈=a_m，求m的值；
（Ⅱ）若b₁=1，对于任何n∈N^*，都有b_n＞0，且（n+1）b_n+1²-nb_n²+b_n+1b_n=0．求数列{b_n}的通项公式；
（Ⅲ）对于（Ⅱ）中的数列{b_n}，若上表中每一行的数按从左到右的顺序均构成公比为q（q＞0）的等比数列，且a₆₆=，求上表中第k（k∈N^*）行所有项的和s（k）．

18. 难度：中等

和平面解析几何的观点相同，在空间中，空间曲面可以看作是适合某种条件的动点的轨迹．一般来说，在空间直角坐标系O-xyz中，空间曲面的方程是一个三元方程F（x，y，z）=0．
（Ⅰ）在直角坐标系O-xyz中，求到定点M（0，2，-1）的距离为3的动点P的轨迹（球面）方程；
（Ⅱ）如图，设空间有一定点F到一定平面α的距离为常数p＞0，即|FM|=2，定义曲面C为到定点F与到定平面α的距离相等（|PF|=|PN|）的动点P的轨迹，试建立适当的空间直角坐标系O-xyz，求曲面C的方程；  
（Ⅲ）请类比平面解析几何中对二次曲线的研究，讨论曲面C的几何性质．并在图中通过画出曲面C与各坐标平面的交线（如果存在）或与坐标平面平行的平面的交线（如果必要）表示曲面C的大致图形．画交线时，请用虚线表示被曲面C自身遮挡部分．