2011年上海市嘉定区高考数学三模试卷（理科）（解析版）

一、解答题

1. 难度：中等

设集合A={x|-5＜x＜3}，B={x|-2＜x＜4}，则A∩B=    ．

2. 难度：中等

已知向量，，且，则tanx=    ．

3. 难度：中等

函数的定义域是    ．

4. 难度：中等

已知二元一次方程组的增广矩阵是，则此方程组的解是    ．

5. 难度：中等

已知等差数列{a_n}的公差d≠0，且a₁、a₃、a₉成等比数列，则公比q的值是    ．

6. 难度：中等

若关于x的方程ax²-2ax-1=0有且仅有一个实数根，则实数a=    ．

7. 难度：中等

设n∈N*，（2x+1）ⁿ展开式各项系数之和为a_n，（3x+1）ⁿ展开式各项系数之和为b_n，则=    ．

8. 难度：中等

函数的图象上相邻两个对称中心的距离是    ．

9. 难度：中等

在极坐标系中，将圆ρ=2acosθ（a＞0）的圆心绕极点按逆时针方向旋转，所得圆的极坐标方程为    ．

10. 难度：中等

执行如图所示的程序框图，若输入的x=-10.5，则输出y的结果为    ．

11. 难度：中等

已知长方体的三条棱长分别为1，1，2，并且该长方体的八个顶点都在一个球的球面上，则此球的表面积为    ．

12. 难度：中等

某班从5名班干部（其中男生3人，女生2人）中选3人参加学校学生会的干部竞选．设所选3人中女生人数为ξ，则随机变量ξ的方差Dξ=    ．

13. 难度：中等

椭圆的焦点为F₁、F₂，点P在椭圆上，若|PF₁|=4，则=    ．

14. 难度：中等

已知集合M是满足下列两个条件的函数f（x）的全体：①f（x）在定义域上是单调函数；②在f（x）的定义域内存在闭区间[a，b]，使f（x）在[a，b]上的值域为．若函数，g（x）∈M，则实数m的取值范围是    ．

二、选择题

15. 难度：中等

若函数f（x）的定义域是R，则“f（0）=0”是“f（x）为奇函数”的（ ）
A．充分非必要条件
B．必要非充分条件
C．充分必要条件
D．既非充分又非必要条件

16. 难度：中等

抛物线y=x²的焦点坐标为（ ）
A．（，0）
B．（，0）
C．（0，）
D．（0，）

17. 难度：中等

已知M是△ABC内的一点，且=2，∠BAC=30°，若△MBC，△MCA和△MAB的面积分别为，x，y，则+的最小值是（ ）
A．20
B．18
C．16
D．9

18. 难度：中等

已知函数，若a、b、c的值互不相等，且f（a）=f（b）=f（c），则abc的取值范围是（ ）
A．（1，4）
B．（2，5）
C．（3，6）
D．（4，8）

三、解答题

19. 难度：中等

设复数z₁=sinα+i，z₂=m+（m-cosα）i，其中i为虚数单位，α∈[0，2π），m∈R，且z₁=z₂．
（1）求α的值；
（2）设t=cosα+isinα，求f（t）=1+t+t²+…+t^n-1（n∈N*）．

20. 难度：中等

在三棱锥A-BCD中，AD⊥面BCD，BD⊥CD，AD=BD=2，，E、F分别是AC和BC的中点．
（1）求三棱锥E-CDF的体积；
（2）求二面角E-DF-C的大小（用反三角函数值表示）．

21. 难度：中等

火山喷发后，会在喷发区及周边地区地面上堆积起大量火山灰．在一次火山喷发停止后对地面火山灰的堆积量进行测量，设定距离喷口中心50m内的圆形区域为第1区，距离喷口中心50m至100m的圆环形区域为第2区，距离喷口中心100m至150m的圆环形区域为第3区，…，距离喷口中心50（n-1）m至50nm的圆环形区域为第n区…．测得第1区火山灰堆积重量平均为1000kg/m²，第2区火山灰每平方米的平均重量比第1区减少2%，第3区比第2区又减少2%，…，依此类推（题中n∈N*，m表示长度单位米，kg表示重量单位千克）．
（1）若第n区平均每平方米火山灰的堆积重量为a_n（kg），写出a_n的表达式；
（2）第几区内的火山灰的总重量最大？

22. 难度：中等

如图，已知椭圆的左右焦点分别为F₁、F₂，椭圆的下顶点为A，点P是椭圆上任意一点，，圆M是以PF₂为直径的圆．
（1）若圆M过原点O，求圆M的方程；
（2）当圆M的面积为时，求PA所在直线的方程；
（3）写出一个定圆的方程，使得无论点P在椭圆的什么位置，该定圆总与圆M相切．请写出你的探究过程．

23. 难度：中等

已知k∈R，a＞0且a≠1，b＞0且b≠1，函数f（x）=a^x+k•b^x．
（1）如果实数a、b满足a＞1，ab=1，试判断函数f（x）的奇偶性，并说明理由；
（2）设a＞1＞b＞0，k≤0，判断函数f（x）在R上的单调性并加以证明；
（3）若a=2，，且k＞0，问函数f（x）的图象是不是轴对称图形？如果是，求出函数f（x）图象的对称轴；如果不是，请说明理由．