2010年上海市静安、杨浦、青浦、宝山区高考数学二模试卷（文理合卷）（解析版）

一、解答题

1. 难度：中等

方程组对应的增广矩阵为    ．

2. 难度：中等

函数y=sinxcosx+的最小正周期为    ．

3. 难度：中等

已知U=R，集合，则C_UM=    ．

4. 难度：中等

若为y=sin（2x+α）+cos（2x+α）奇函数，则最小正数α的值为    ．

5. 难度：中等

若∈{-2，-1，0}，则x=    ．

6. 难度：中等

若α是方程x²-4x+5=0在复数范围内的根，则|α|=    ．

7. 难度：中等

设集合A={x|x⁴-1=0，x∈C}，z=2-3i，若x∈A，则|x-z|的最大值是     ．

8. 难度：中等

[文科]非负实数x、y满足，则x+3y的最大值为    ．

9. 难度：中等

在极坐标系中，圆p=4cosθ+3sinθ的半径长是     ．

10. 难度：中等

有8本互不相同的书，其中数学书3本、外文书2本、其他书3本，若将这些书排成一排放在书架上，则数学书排在一起，外文书也排在一起的概率是     ．

11. 难度：中等

有一种游戏规则如下：口袋里有5个红球和5个黄球，一次摸出5个，若颜色相同则得100分，若4个球颜色相同，另一个不同，则得50分，其他情况不得分．小张摸一次得分的期望是     分．

12. 难度：中等

程序框图（即算法流程图）如图所示，其输出结果是    ．

13. 难度：中等

若二项式（x+a）⁷展开式中，x⁵项的系数是7，则=    ．

14. 难度：中等

一个用立方块搭成的立体图形，小张从前面看和从上面看到的图形都是同一图形，如图，那么，搭成这样一个立体图形最少需要    个小立方块．

15. 难度：中等

在△ABC中，若a=4，b=3，c=2，则△ABC的外接圆半径长为     ．

16. 难度：中等

如图，要做一个圆锥形帐篷（不包括底面），底面直径6米，高4米，那么至少需要    平方米的帆布．

17. 难度：中等

[理科]已知一圆锥的底面直径、高和一圆柱的底面直径均相等，且圆锥和圆柱的体积也相等，那么，圆锥的全面积与圆柱的全面积之比为    ．

18. 难度：中等

以抛物线y²=8x的顶点为中心，焦点为右焦点，且以为渐近线的双曲线方程是     ．

19. 难度：中等

已知抛物线x²=3y上的两点A、B的横坐标恰是方程x²+px+q=0（p，q是实数）的两个实根，则直线AB的方程是     ．

20. 难度：中等

已知△ABC内接于以0为圆心，1为半径的圆，且3•+4•+5•=，则S_△ABC=    ．

21. 难度：中等

已知O是△ABC的外心，AB=2，AC=3，x+2y=1，若=x•+y•，（xy≠0），则cos∠BAC=    ．

二、选择题

22. 难度：中等

“直线l垂直于△ABC的边AB，AC”是“直线l垂直于△ABC的边BC”的（ ）
A．充要条件
B．充分非必要条件
C．必要非充分条件
D．即非充分也非必要条件

23. 难度：中等

下列类比推理命题（其中Q为有理数集，R为实数集，C为复数集）：
①“若a，b∈R，则a-b=0⇒a=b”类比推出“若a，b∈C，则a-b=0⇒a=b”；
②“若a，b，c，d∈R，则复数a+bi=c+di⇒a=c，b=d”类比推出“若a，b，c，d∈Q，则”；
③“若a，b∈R，则a-b＞0⇒a＞b”类比推出“若a，b∈C，则a-b＞0⇒a＞b”．
其中类比结论正确的个数是（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3

24. 难度：中等

若（n是正整数），则a_n+1=a_n+（ ）
A．
B．
C．
D．

25. 难度：中等

[理科]观察下列式子：，，，…，可以猜想结论为（ ）
A．
B．
C．
D．

26. 难度：中等

已知函数，（a＞0），x∈（0，b），则下列判断正确的是（ ）
A．当时，f（x）的最小值为
B．当时，f（x）的最小值为
C．当时，f（x）的最小值为
D．对任意的b＞0，f（x）的最小值均为

27. 难度：中等

设函数，区间M=[a，b]（a＜b），集合N={y|y=f（x），x∈M}，则使M=N成立的实数对（a，b）有（ ）
A．1个
B．2个
C．3个
D．无数多个

三、解答题

28. 难度：中等

已知ABCD-A₁B₁C₁D₁是底面为菱形的直四棱柱，P是棱DD₁的中点，∠BAD=60°，底面边长为2，四棱柱的体积为，求异面直线AD₁与PB所成的角大小．（结果用反三角函数值表示）

29. 难度：中等

已知ABCD-A₁B₁C₁D₁是底面为菱形的直四棱柱，P是棱DD₁的中点，∠BAD=60°，底面边长为2，若PB与平面ADD₁A₁成45°角，求点A₁到平面ACP的距离．

30. 难度：中等

把水放在温度为θ℃的空气中冷却，若水原来的温度是θ₁℃（θ＜θ₁），t分钟后物体温度θ℃可由公式θ=θ+（θ₁-θ）e^-kt求得，其中，k是由不同盛水的容器所确定的正常量．
（1）若室温为20℃，往某容器中倒入98℃的热水，一小时后测得水温为71.2℃，求k的值；（精确到0.001）
（2）若一保温杯的k=0.01，往该保温杯中倒入100℃的开水，经过2.5小时测得水温为40℃，求此时的室内温度（假设室内恒温，精确到0.1℃）．

31. 难度：中等

已知平面向量，，函数．
（1）写出函数f（x）的单调递减区间；
（2）设，求直线y=2与y=g（x）在闭区间[0，π]上的图象的所有交点坐标．

32. 难度：中等

已知平面向量，，函数．
（1）写出函数f（x）的单调递减区间；
（2）设（0＜x＜2π），求函数y=f（x）与y=g（x）图象的所有交点坐标．

33. 难度：中等

已知F₁，F₂为椭圆C：的左右焦点，O是坐标原点，过F₂作垂直于x轴的直线MF₂交椭圆于M，设|MF₂|=d．
（1）证明：d，b，a 成等比数列；
（2）若M的坐标为（），求椭圆C的方程；
（3）在（2）的椭圆中，过F₁的直线l与椭圆C交于A、B两点，若，求直线l的方程．

34. 难度：中等

定义：如果数列{a_n}的任意连续三项均能构成一个三角形的三边长，则称{a_n}为“三角形”数列．对于“三角形”数列{a_n}，如果函数y=f（x）使得b_n=f（a_n）仍为一个“三角形”数列，则称y=f（x）是数列{a_n}的“保三角形函数”，（n∈N^﹡）．
（1）已知{a_n}是首项为2，公差为1的等差数列，若f（x）=k^x，（k＞1）是数列{a_n}的“保三角形函数”，求k的取值范围；
（2）已知数列{c_n}的首项为2010，S_n是数列{c_n}的前n项和，且满足4S_n+1-3S_n=8040，证明{c_n}是“三角形”数列；
（3）[文科]若g（x）=lgx是（2）中数列{c_n}的“保三角形函数”，问数列{c_n}最多有多少项．
[理科]根据“保三角形函数”的定义，对函数h（x）=-x²+2x，x∈[1，A]，和数列1，1+d，1+2d，（d＞0）提出一个正确的命题，并说明理由．

35. 难度：中等

[理科]定义：如果数列{a_n}的任意连续三项均能构成一个三角形的三边长，则称{a_n}为“三角形”数列．对于“三角形”数列{a_n}，如果函数y=f（x）使得b_n=f（a_n）仍为一个“三角形”数列，则称y=f（x）是数列{a_n}的“保三角形函数”，（n∈N^*）．
（1）已知{a_n}是首项为2，公差为1的等差数列，若f（x）=k^x，（k＞1）是数列{a_n}的“保三角形函数”，求k的取值范围；
（2）已知数列{c_n}的首项为2010，S_n是数列{c_n}的前n项和，且满足4S_n+1-3S_n=8040，证明{c_n}是“三角形”数列；
（3）根据“保三角形函数”的定义，对函数h（x）=-x²+2x，x∈[1，A]，和数列1，1+d，1+2d（d＞0）提出一个正确的命题，并说明理由．